Seja n \in \mathbb{N}. Mostre que:
(n!+1,(n+1)!+1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá um inteiro n\in\mathbb{N} e os dois inteiros
a = n!+1
e
b = (n+1)!+1.
A pergunta é: mostrar que o máximo divisor comum desses dois inteiros é 1; ou seja, provar que
(a,b)=(n!+1,(n+1)!+1)=1.
Informações relevantes dadas:
  • n! é o produto dos inteiros de 1 até n.
  • Os números são n!+1 e (n+1)!+1.
  • Quer-se mostrar que não existe nenhum divisor inteiro maior que 1 que divida simultaneamente ambos.

Passo 2

Definição útil (explicação didática): o máximo divisor comum, denotado (x,y), é o maior inteiro positivo que divide tanto x quanto y. Uma técnica comum é assumir que existe um divisor comum d e usar combinações lineares para obter contradições. Também é útil lembrar que se um primo p divide um produto de inteiros, então p divide pelo menos um dos fatores; e que se p divide m e m divide k então p divide k.
Vamos aplicar isso: defina
d=(n!+1,(n+1)!+1).
Queremos mostrar que d=1.

Passo 3

Vamos usar uma combinação linear simples dos dois números para eliminar termos grandes. Calculemos
(n+1)!+1 - (n+1)(n!+1).
Desenvolvendo:
(n+1)!+1 - (n+1)(n!+1) = (n+1)n! + 1 - (n+1)n! - (n+1) = 1-(n+1) = -n.

Passo 4

Como d divide tanto n!+1 quanto (n+1)!+1, ele também divide qualquer combinação inteira desses dois números. Logo d divide o número que acabamos de calcular, isto é, d divide -n. Portanto d divide n.
Em linguagem simples: qualquer divisor comum de n!+1 e (n+1)!+1 tem que dividir n.

Passo 5

Agora vejamos o que isto implica para os factores primos de d. Seja p um primo que divide d. Então p divide n. Mas se p divide n e n\ge 1, então p\le n e, por isso, p divide n! (pois n! contém todos os fatores de 1 a n, inclusive p). Logo p divide n!.
Mas já sabemos que p divide n!+1 (porque p divide d e d divide n!+1). Assim p divide simultaneamente n! e n!+1. Então p divide a diferença
(n!+1) - n! = 1,
o que é impossível, pois nenhum primo maior que 1 divide 1.

Passo 6

A contradição mostra que não existe primo p>1 que divida d. Portanto d não tem fatores primos maiores que 1, o que significa d=1.

Resposta

(n!+1,(n+1)!+1)=1

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