Sejam A e B matrizes n \times n. Mostre que se
A B=A \quad \text { e } \quad B \neq I
então A deve ser singular.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes n\times n.
  • Sabe-se que A B = A.
  • Sabe-se também que B \neq I, onde I é a matriz identidade n\times n.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que A é singular (ou seja, mostrar que A não é invertível).

Passo 2

Vamos lembrar definições e propriedades básicas que usaremos (explicando de forma bem simples).
  • Uma matriz A é invertível se existe uma matriz A^{-1} tal que \,A^{-1}A = AA^{-1} = I. Se tal A^{-1} não existe, dizemos que A é singular.
  • A matriz I é a matriz identidade, que satisfaz I X = X I = X para toda matriz X compatível em dimensão.
  • A multiplicação de matrizes é associativa: para matrizes compatíveis vale \,X(YZ)=(XY)Z. Isso permite “reagrupar” produtos quando multiplicamos por uma inversa.
    Essas ideias são suficientes para um argumento direto por contradição: assumir que A é invertível e ver que isso leva a uma contradição com B\neq I.

Passo 3

Prova por contradição (passo a passo):
  • Suponha, para chegar a uma contradição, que A seja invertível. Então existe A^{-1} tal que \,A^{-1}A=I.
  • Começamos da igualdade dada \,AB=A.
  • Multiplicando ambos os lados à esquerda por A^{-1} (isso é permitido porque assumimos que A^{-1} existe), obtemos
A^{-1}(AB)=A^{-1}A.
  • Usando associatividade do produto de matrizes, o lado esquerdo fica
(A^{-1}A)B = IB.
  • Como A^{-1}A=I, temos IB = B. E o lado direito A^{-1}A é I. Portanto a igualdade anterior vira
B = I.
  • Isso contradiz exatamente a hipótese do enunciado B \neq I.

Passo 4

Conclusão lógica do argumento:
  • Como a suposição de que A é invertível levou a uma contradição com uma hipótese do problema, essa suposição deve ser falsa.
  • Logo A não é invertível, ou seja, A é singular.

Passo 5

Comentário didático adicional (por que usamos este método e não outro):
  • Uma alternativa natural é tentar usar determinantes: da igualdade AB=A tomar determinante e obter \det(A)\det(B)=\det(A), o que dá \det(A)(\det(B)-1)=0. Isso implica \det(A)=0 (o que dá A singular) ou \det(B)=1. Mas \det(B)=1 não implica B=I, então esse caminho sozinho não garante a conclusão; por isso o argumento com a inversa é mais direto e decisivo.
  • O argumento com inversa é curto e usa somente a propriedade de “cancelamento” que a inversa fornece: multiplicar à esquerda por A^{-1} cancela o A do lado esquerdo do produto.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia (mostra que existem soluções com A singular e B\neq I):
  • Tome
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]5&7\end{pmatrix}.
  • Então
AB=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]5&7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=A,
e B\neq I. Aqui A é claramente singular, ilustrando que a conclusão do enunciado é compatível com exemplos concretos.]

Resposta

A é singular.

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