Sejam
e
matrizes
. Mostre que se
então
deve ser singular.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes . - Sabe-se que
. - Sabe-se também que
, onde é a matriz identidade .
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
é singular (ou seja, mostrar que não é invertível).
Passo 2
Vamos lembrar definições e propriedades básicas que usaremos (explicando de forma bem simples).
- Uma matriz
é invertível se existe uma matriz tal que . Se tal não existe, dizemos que é singular. - A matriz
é a matriz identidade, que satisfaz para toda matriz compatível em dimensão. - A multiplicação de matrizes é associativa: para matrizes compatíveis vale
. Isso permite “reagrupar” produtos quando multiplicamos por uma inversa.
Essas ideias são suficientes para um argumento direto por contradição: assumir queé invertível e ver que isso leva a uma contradição com .
Passo 3
Prova por contradição (passo a passo):
- Suponha, para chegar a uma contradição, que
seja invertível. Então existe tal que . - Começamos da igualdade dada
. - Multiplicando ambos os lados à esquerda por
(isso é permitido porque assumimos que existe), obtemos
- Usando associatividade do produto de matrizes, o lado esquerdo fica
- Como
, temos . E o lado direito é . Portanto a igualdade anterior vira
- Isso contradiz exatamente a hipótese do enunciado
.
Passo 4
Conclusão lógica do argumento:
- Como a suposição de que
é invertível levou a uma contradição com uma hipótese do problema, essa suposição deve ser falsa. - Logo
não é invertível, ou seja, é singular.
Passo 5
Comentário didático adicional (por que usamos este método e não outro):
- Uma alternativa natural é tentar usar determinantes: da igualdade
tomar determinante e obter , o que dá . Isso implica (o que dá singular) ou . Mas não implica , então esse caminho sozinho não garante a conclusão; por isso o argumento com a inversa é mais direto e decisivo. - O argumento com inversa é curto e usa somente a propriedade de “cancelamento” que a inversa fornece: multiplicar à esquerda por
cancela o do lado esquerdo do produto.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a ideia (mostra que existem soluções com
singular e
):
- Tome
- Então
e
. Aqui
é claramente singular, ilustrando que a conclusão do enunciado é compatível com exemplos concretos.]