Use o resultado do Problema 12 para encontrar a inversa de cada uma das matrizes seguintes \left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 2 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: encontrar a inversa da matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Informação dada: os quatro elementos da matriz são a=4, b=3, c=2, d=2.
Objetivo concreto: encontrar uma matriz \displaystyle A^{-1} tal que \displaystyle A A^{-1}=I, onde \displaystyle I é a matriz identidade 2\times2.]
Passo 2
Qual método vamos usar (e por que): o enunciado pede para usar o resultado do Problema 12. Esse resultado normalmente fornece a fórmula direta para a inversa de uma matriz 2\times2. Vou usar essa fórmula porque é a forma mais simples e rápida para matrizes 2\times2 e é exatamente o que o problema solicita.
A fórmula (resultado do Problema 12) diz: para
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
\det(A)=ad-bc é o determinante da matriz A. Ele é um número; se for zero, A não tem inversa.
A matriz \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} é a matriz adjunta (adjugate) para o caso 2\times2: troca-se a e d e troca-se o sinal de b e c.
Multiplicar essa adjunta por 1/\det(A) normaliza de modo que A A^{-1}=I.]
Passo 3
Calcular o determinante de A. Substituindo a=4, b=3, c=2, d=2 na fórmula do determinante:
\det(A)=ad-bc = 4\cdot 2 - 3\cdot 2.
Agora as contas passo a passo:
4\cdot 2 = 8,\qquad 3\cdot 2 = 6,
\det(A)=8-6=2.
Como \det(A)=2\neq0, a matriz é invertível e podemos aplicar a fórmula.
Passo 4
Calcular a matriz adjunta (trocar a e d, mudar sinal de b e c):