Use o resultado do Problema 12 para encontrar a inversa de cada uma das matrizes seguintes
\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: encontrar a inversa da matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
  • Informação dada: os quatro elementos da matriz são a=4, b=3, c=2, d=2.
  • Objetivo concreto: encontrar uma matriz \displaystyle A^{-1} tal que \displaystyle A A^{-1}=I, onde \displaystyle I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 2

Qual método vamos usar (e por que): o enunciado pede para usar o resultado do Problema 12. Esse resultado normalmente fornece a fórmula direta para a inversa de uma matriz 2\times2. Vou usar essa fórmula porque é a forma mais simples e rápida para matrizes 2\times2 e é exatamente o que o problema solicita.
A fórmula (resultado do Problema 12) diz: para
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
se \det(A)=ad-bc\neq0, então
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicando a fórmula com calma:
  • \det(A)=ad-bc é o determinante da matriz A. Ele é um número; se for zero, A não tem inversa.
  • A matriz \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} é a matriz adjunta (adjugate) para o caso 2\times2: troca-se a e d e troca-se o sinal de b e c.
  • Multiplicar essa adjunta por 1/\det(A) normaliza de modo que A A^{-1}=I.]

Passo 3

Calcular o determinante de A. Substituindo a=4, b=3, c=2, d=2 na fórmula do determinante:
\det(A)=ad-bc = 4\cdot 2 - 3\cdot 2.
Agora as contas passo a passo:
4\cdot 2 = 8,\qquad 3\cdot 2 = 6,
\det(A)=8-6=2.
Como \det(A)=2\neq0, a matriz é invertível e podemos aplicar a fórmula.

Passo 4

Calcular a matriz adjunta (trocar a e d, mudar sinal de b e c):
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicar a adjunta por 1/\det(A). Como \det(A)=2, temos
A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}.
Agora faço a multiplicação escalar elemento a elemento:
\frac{1}{2}\cdot 2 = 1,\qquad \frac{1}{2}\cdot(-3) = -\tfrac{3}{2},
\frac{1}{2}\cdot(-2) = -1,\qquad \frac{1}{2}\cdot 4 = 2.
Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{3}{2} \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova para evitar erros): multiplicar A por A^{-1} e checar se dá a identidade. Calculo os elementos de A A^{-1}:
  • Elemento (1,1): 4\cdot 1 + 3\cdot(-1) = 4-3=1.
  • Elemento (1,2): 4\cdot(-\tfrac{3}{2}) + 3\cdot 2 = -6 + 6 = 0.
  • Elemento (2,1): 2\cdot 1 + 2\cdot(-1) = 2-2=0.
  • Elemento (2,2): 2\cdot(-\tfrac{3}{2}) + 2\cdot 2 = -3 + 4 = 1.
Assim
A A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I,
confirmando que o resultado está correto.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{3}{2} \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}]

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