Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 , \operatorname{det} A=5 e \operatorname{det} B=3. Qual é o valor de:
\operatorname{det}\left(2 \cdot A^{t}\right)

Passo 1

O enunciado fornece duas matrizes quadradas de ordem 3, A e B, com \det A = 5 e \det B = 3, e pede o valor de \det\bigl(2\cdot A^t\bigr). O conteúdo envolvido é propriedade de determinante em relação à transposição e multiplicação de uma matriz por escalar.

Passo 2

Usamos a propriedade de que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original. Logo,
\det\bigl(A^t\bigr) = \det(A) = 5.

Passo 3

Empregamos a propriedade de que, para uma matriz quadrada de ordem n, vale
\det\bigl(c\,M\bigr) = c^n \det(M).
Como A^t é de ordem 3 e c=2, temos
\det\bigl(2\cdot A^t\bigr) = 2^3 \det\bigl(A^t\bigr).

Passo 4

Substituindo \det\bigl(A^t\bigr)=5 em \det\bigl(2\cdot A^t\bigr) = 2^3 \det\bigl(A^t\bigr), obtemos
\det\bigl(2\cdot A^t\bigr) = 8 \times 5 = 40.

Resposta

40

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