38 Admita que P é uma matriz quadrada inversível. Usando o Teorema de Binet, mostre que \operatorname{det} P \cdot \operatorname{det} P^{-1}=1.

Passo 1

O enunciado diz que P é uma matriz quadrada inversível e pede para mostrar, usando o Teorema de Binet, que
\det(P)\,\det\bigl(P^{-1}\bigr)=1.
O Teorema de Binet afirma que, para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, vale
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).

Passo 2

Como P é inversível, temos
P\,P^{-1}=I,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem de P.

Passo 3

Tomando determinante em ambos os lados de P\,P^{-1}=I, obtemos
\det\bigl(P\,P^{-1}\bigr)=\det(I).

Passo 4

Pelo Teorema de Binet,
\det\bigl(P\,P^{-1}\bigr) =\det(P)\,\det\bigl(P^{-1}\bigr).
Logo,
\det(P)\,\det\bigl(P^{-1}\bigr)=\det(I).

Passo 5

Sabemos que a matriz identidade I tem determinante igual a 1, pois é o produto dos seus n elementos da diagonal principal, todos iguais a 1. Portanto,
\det(I)=1.

Resposta

\det(P)\,\det\bigl(P^{-1}\bigr)=1.

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