Sejam A e B matrizes de tamanho n \times n. Prove o seguinte:
Se A é invertível, então A^{T} A é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz quadrada A de ordem n é invertível, então o produto A^{T}A também é invertível.
O conteúdo principal aqui é usar propriedades de determinante: que \det(A^{T})=\det(A) e \det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}.

Passo 2

Usando as propriedades do determinante, temos
\det\bigl(A^{T}A\bigr) =\det\bigl(A^{T}\bigr)\,\det(A) =\det(A)\,\det(A) =\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.
Como A é invertível, \det(A)\neq 0, logo \bigl(\det(A)\bigr)^{2}\neq 0.

Passo 3

Um matrizes quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é não nulo. Como obtivemos \det(A^{T}A)\neq 0, concluímos que A^{T}A é invertível.

Resposta

Portanto, A^{T}A é invertível.

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