Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-8,-4) e \vec{v}=(-8,-3). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(4,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2} e os vetores \vec{u}=(-8,-4) e \vec{v}=(-8,-3). Também informa as coordenadas desses vetores na base \beta:
A pergunta é: qual é \vec{b}_{2} entre as alternativas dadas (elas mostram apenas a segunda componente, que varia de -8 até -1)?
Passo 2
Lembrete importante (a fórmula que vamos usar): se \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} e um vetor \vec{w} tem coordenadas [\vec{w}]_{\beta}=(\alpha,\beta), então
\vec{w}=\alpha\,\vec{b}_1+\beta\,\vec{b}_2.
Aqui cada coordenada multiplica o correspondente vetor da base e somamos. Aplicando isso aos dados do enunciado temos duas equações vetoriais:
Para \vec{u}:
\vec{u}=4\vec{b}_1-4\vec{b}_2
pois [\vec{u}]_{\beta}=(4,-4).
Para \vec{v}:
\vec{v}=\vec{b}_1+\vec{b}_2
pois [\vec{v}]_{\beta}=(1,1).
Passo 3
Agora escrevemos \vec{b}_1 e \vec{b}_2 em coordenadas desconhecidas:
\vec{b}_1=(x_1,y_1),\qquad \vec{b}_2=(x_2,y_2).
Substituindo nas equações vetoriais e usando \vec{u}=(-8,-4), \vec{v}=(-8,-3) obtemos sistemas para as componentes x e y.
Da equação \vec{u}=4\vec{b}_1-4\vec{b}_2 vem:
4x_1-4x_2=-8,\qquad 4y_1-4y_2=-4.
Podemos dividir cada igualdade por 4 para simplificar:
x_1-x_2=-2,\qquad y_1-y_2=-1.
Da equação \vec{v}=\vec{b}_1+\vec{b}_2 vem:
x_1+x_2=-8,\qquad y_1+y_2=-3.
Então temos dois sistemas de 2 equações cada (um para as componentes x, outro para as y).
Passo 4
Vamos resolver primeiro o sistema das componentes x\):
\[\begin{cases} x_1-x_2=-2,\\[4pt] x_1+x_2=-8. \end{cases}
Somando as duas equações (eliminamos x_2\]):
\[(x_1-x_2)+(x_1+x_2)= -2+(-8) \implies 2x_1 = -10.\]
Logo
\[x_1 = -5.\]
Agora usamos \(x_1+x_2=-8 para achar x_2:
-5 + x_2 = -8 \implies x_2 = -3.]
Passo 5
Agora o sistema das componentes y\):
\[\begin{cases} y_1-y_2=-1,\\[4pt] y_1+y_2=-3. \end{cases}
Somando as duas equações:
(y_1-y_2)+(y_1+y_2)= -1+(-3) \implies 2y_1 = -4.
Logo
y_1 = -2.
Usando y_1+y_2=-3\] para achar \(y_2:
-2 + y_2 = -3 \implies y_2 = -1.]
Passo 6
Concluímos que
\vec{b}_2=(x_2,y_2)=(-3,-1).
A alternativa que mostra a segunda componente igual a -1 é a alternativa (H). (Portanto \vec{b}_2 tem segunda componente -1 e, mais precisamente, é (-3,-1).)