Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
III -
não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - A imagem de uma rotação em
III -
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede que eu escolha qual alternativa (A)–(H) corresponde às verdades/falsidades delas. As afirmativas são:
I - A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III - não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III -
A tarefa é decidir, para cada uma das três afirmativas, se é verdadeira ou falsa e então escolher a letra correta entre as opções dadas.
Passo 2
Para avaliarmos as afirmativas, primeiro vamos lembrar (de forma bem didática) o que significa ser um subespaço vetorial de
. Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três condições básicas (essas condições são necessárias e suficientes):
- O vetor nulo
pertence a . - Fechamento por soma: se
e então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e então .
Essas condições são fáceis de verificar em provas: muitas vezes basta checar se
está no conjunto (se não estiver, já dá para concluir que não é subespaço), ou mostrar uma violação de fechamento. Vou usar exatamente esses critérios para analisar cada afirmativa. Não entrarei em fórmulas complicadas sem antes explicar cada passo.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial.”
Explicação/conceito: uma rotação em
é uma aplicação linear
que gira vetores em torno de um eixo (por um certo ângulo). Duas observações importantes e simples:
-
Toda rotação é uma transformação linear: isto é, para quaisquer vetores
e escalar vale (Isto decorre do fato de que rotações são representadas por uma matrizfixa e as matrizes definem transformações lineares.) -
Para qualquer transformação linear
, a imagem é sempre um subespaço vetorial. Vou justificar isso no passo seguinte com contas simples.
Além disso, rotações em
são invertíveis: a inversa é a rotação pelo ângulo negativo (girar de volta). Como são invertíveis, elas são sobrejetoras, isto é, sua imagem é todo
. E
é claramente um subespaço vetorial de si mesmo. Portanto, a imagem de uma rotação é um subespaço (na verdade: é
).
Conclusão provisória: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Justificativa geral (mini-aula curta) — por que a imagem de uma transformação linear é subespaço:
Se
é linear, definimos
. Verificamos as três propriedades de subespaço:
-
porque (qualquer transformação linear manda o vetor zero no vetor zero). - Fechamento por soma: se
e então e , logo . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e então e , logo .
Portanto
é subespaço. Aplicando isso à rotação (que é linear) obtemos que sua imagem é subespaço; como comentei antes, por ser invertível essa imagem é todo
.
Passo 5
Analisando a afirmativa II: “O conjunto solução do sistema homogêneo
é um subespaço vetorial.”
Explicação/conceito: o conjunto solução do sistema homogêneo é exatamente o núcleo (ou espaço nulo) da transformação linear representada por
, isto é
Agora verificamos as propriedades de subespaço para
:
- O vetor
satisfaz , então . - Se
, então e . Pela linearidade de , então . - Se
e , então logo .
Assim
satisfaz as três condições e é um subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmativa III: "
não é subespaço vetorial."
Vamos testar com o critério mais rápido: ver se o vetor nulo está no conjunto. O vetor nulo é
. Substituindo em
obtemos
, ou seja
, que é falso. Portanto
. Como um subespaço deve conter o vetor zero, esse conjunto não pode ser subespaço vetorial.
Outra maneira intuitiva (opcional): observe que a equação
é uma equação afim (tem termo constante
); conjuntos definidos por equações com termos constantes não-lineares (ou seja, não-puremente-homogêneas) geralmente são translate de subespaços e não subespaços. Em particular, se tomarmos
que satisfaz
, o múltiplo
não pertence ao conjunto, mostrando violação do fechamento por multiplicação escalar.
Portanto a afirmativa III (que diz “esse conjunto não é subespaço”) é verdadeira.
Passo 7
Resumo das verificações:
- I é verdadeira (imagem de rotação é subespaço; de fato é todo
). - II é verdadeira (o conjunto solução de
é o núcleo de , que é subespaço). - III é verdadeira (o conjunto dado não contém o vetor zero, logo não é subespaço).
Todas as três afirmativas são verdadeiras. A alternativa que corresponde a isso é a (H).
Resposta
(H)