Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=2 y+2\right\} não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede que eu escolha qual alternativa (A)–(H) corresponde às verdades/falsidades delas. As afirmativas são:
I - A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo \;A\vec{x}=\overrightarrow{0}\; é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=2 y+2\right\} não é subespaço vetorial.
A tarefa é decidir, para cada uma das três afirmativas, se é verdadeira ou falsa e então escolher a letra correta entre as opções dadas.

Passo 2

Para avaliarmos as afirmativas, primeiro vamos lembrar (de forma bem didática) o que significa ser um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três condições básicas (essas condições são necessárias e suficientes):
  1. O vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence a W.
  2. Fechamento por soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Essas condições são fáceis de verificar em provas: muitas vezes basta checar se \overrightarrow{0} está no conjunto (se não estiver, já dá para concluir que não é subespaço), ou mostrar uma violação de fechamento. Vou usar exatamente esses critérios para analisar cada afirmativa. Não entrarei em fórmulas complicadas sem antes explicar cada passo.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.”
Explicação/conceito: uma rotação em \mathbb{R}^{3} é uma aplicação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que gira vetores em torno de um eixo (por um certo ângulo). Duas observações importantes e simples:
  • Toda rotação é uma transformação linear: isto é, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e escalar c\in\mathbb{R} vale
    T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(cu)=c\,T(u).
    (Isto decorre do fato de que rotações são representadas por uma matriz R fixa e as matrizes definem transformações lineares.)
  • Para qualquer transformação linear L:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, a imagem \operatorname{Im}(L)=\{L(x)\mid x\in\mathbb{R}^{3}\} é sempre um subespaço vetorial. Vou justificar isso no passo seguinte com contas simples.
Além disso, rotações em \mathbb{R}^{3} são invertíveis: a inversa é a rotação pelo ângulo negativo (girar de volta). Como são invertíveis, elas são sobrejetoras, isto é, sua imagem é todo \mathbb{R}^{3}. E \mathbb{R}^{3} é claramente um subespaço vetorial de si mesmo. Portanto, a imagem de uma rotação é um subespaço (na verdade: é \mathbb{R}^{3}).
Conclusão provisória: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Justificativa geral (mini-aula curta) — por que a imagem de uma transformação linear é subespaço:
Se L:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é linear, definimos \operatorname{Im}(L)=\{L(x)\mid x\in\mathbb{R}^{3}\}. Verificamos as três propriedades de subespaço:
  • \overrightarrow{0}\in\operatorname{Im}(L) porque L(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0} (qualquer transformação linear manda o vetor zero no vetor zero).
  • Fechamento por soma: se y_1=L(x_1) e y_2=L(x_2) então y_1+y_2 = L(x_1)+L(x_2) = L(x_1+x_2),e x_1+x_2\in\mathbb{R}^3, logo y_1+y_2\in\operatorname{Im}(L).
  • Fechamento por multiplicação escalar: se y=L(x) e c\in\mathbb{R} então c\,y = c\,L(x)=L(c x),e c x\in\mathbb{R}^3, logo c\,y\in\operatorname{Im}(L).
Portanto \operatorname{Im}(L) é subespaço. Aplicando isso à rotação (que é linear) obtemos que sua imagem é subespaço; como comentei antes, por ser invertível essa imagem é todo \mathbb{R}^3.

Passo 5

Analisando a afirmativa II: “O conjunto solução do sistema homogêneo \;A\vec{x}=\overrightarrow{0}\; é um subespaço vetorial.”
Explicação/conceito: o conjunto solução do sistema homogêneo é exatamente o núcleo (ou espaço nulo) da transformação linear representada por A, isto é
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^3 \mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
Agora verificamos as propriedades de subespaço para \ker(A):
  • O vetor \overrightarrow{0} satisfaz A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, então \overrightarrow{0}\in\ker(A).
  • Se \vec{x}_1,\vec{x}_2\in\ker(A), então A\vec{x}_1=\overrightarrow{0} e A\vec{x}_2=\overrightarrow{0}. Pela linearidade de A, A(\vec{x}_1+\vec{x}_2)=A\vec{x}_1 + A\vec{x}_2 = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0},então \vec{x}_1+\vec{x}_2\in\ker(A).
  • Se \vec{x}\in\ker(A) e c\in\mathbb{R}, então A(c\vec{x}) = c\,A\vec{x} = c\,\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0},logo c\vec{x}\in\ker(A).
Assim \ker(A) satisfaz as três condições e é um subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmativa III: " \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=2 y+2\} não é subespaço vetorial."
Vamos testar com o critério mais rápido: ver se o vetor nulo está no conjunto. O vetor nulo é (0,0,0). Substituindo em x=2y+2 obtemos 0 = 2\cdot 0 + 2, ou seja 0=2, que é falso. Portanto \overrightarrow{0}\notin\{(x,y,z)\mid x=2y+2\}. Como um subespaço deve conter o vetor zero, esse conjunto não pode ser subespaço vetorial.
Outra maneira intuitiva (opcional): observe que a equação x=2y+2 é uma equação afim (tem termo constante +2); conjuntos definidos por equações com termos constantes não-lineares (ou seja, não-puremente-homogêneas) geralmente são translate de subespaços e não subespaços. Em particular, se tomarmos (2,0,0) que satisfaz 2=2\cdot 0+2, o múltiplo 0\cdot(2,0,0)=(0,0,0) não pertence ao conjunto, mostrando violação do fechamento por multiplicação escalar.
Portanto a afirmativa III (que diz “esse conjunto não é subespaço”) é verdadeira.

Passo 7

Resumo das verificações:
  • I é verdadeira (imagem de rotação é subespaço; de fato é todo \mathbb{R}^3).
  • II é verdadeira (o conjunto solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0} é o núcleo de A, que é subespaço).
  • III é verdadeira (o conjunto dado não contém o vetor zero, logo não é subespaço).
Todas as três afirmativas são verdadeiras. A alternativa que corresponde a isso é a (H).

Resposta

(H)

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