Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-5,8) e \vec{v}=(5,-7). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-3,4) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
    • Vetores na base canônica: \vec{u}=(-5,8) e \vec{v}=(5,-7).
    • Coordenadas desses vetores na base \beta: [\vec{u}]_{\beta}=(-3,4) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,-1).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar \vec{b}_{2}. As alternativas mostram apenas a segunda coordenada de \vec{b}_{2} (com um * para a primeira coordenada), então é preciso identificar qual opção tem a segunda coordenada correta. É aceitável também encontrar \vec{b}_{2} explicitamente.

Passo 2

Entendendo a relação entre coordenadas em uma base e combinação linear.
  • Se [\vec{u}]_{\beta}=(-3,4), isso significa que, na base \beta,
\vec{u} = -3\vec{b}_{1} + 4\vec{b}_{2}.
  • Se [\vec{v}]_{\beta}=(2,-1), isso significa que
\vec{v} = 2\vec{b}_{1} - 1\vec{b}_{2}.
Essas duas igualdades são vetoriais na base canônica (componentes em \mathbb{R}^2). Vou usar essas igualdades para achar \vec{b}_{2}.

Passo 3

Escrever as incógnitas e as equações em componentes.
  • Denote \vec{b}_{1}=(x_{1},y_{1}) e \vec{b}_{2}=(x_{2},y_{2}). As igualdades do passo anterior se tornam, componente a componente:
    • A partir de \vec{u}=-3\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}=(-5,8):
    -3x_{1}+4x_{2}=-5, \qquad -3y_{1}+4y_{2}=8.
    • A partir de \vec{v}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=(5,-7):
    2x_{1}-x_{2}=5, \qquad 2y_{1}-y_{2}=-7.
Temos, portanto, dois sistemas pareados para as componentes x e y. Vou resolver de forma vetorial para evitar repetir o mesmo procedimento duas vezes.

Passo 4

Resolver de forma vetorial eliminando \vec{b}_{1} para obter \vec{b}_{2}.
  • Da equação vetorial \vec{v}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2} temos
2\vec{b}_{1} = \vec{v} + \vec{b}_{2} \quad\Rightarrow\quad \vec{b}_{1} = \frac{\vec{v}+\vec{b}_{2}}{2}.
  • Substituindo essa expressão em \vec{u}=-3\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}:
\vec{u} = -3\left(\frac{\vec{v}+\vec{b}_{2}}{2}\right) + 4\vec{b}_{2}.
  • Multiplicando ambos os lados por 2 para ficar mais limpo:
2\vec{u} = -3(\vec{v}+\vec{b}_{2}) + 8\vec{b}_{2}.
  • Desenvolvendo o lado direito:
2\vec{u} = -3\vec{v} -3\vec{b}_{2} + 8\vec{b}_{2} = -3\vec{v} +5\vec{b}_{2}.
  • Isolando \vec{b}_{2}:
5\vec{b}_{2} = 2\vec{u} + 3\vec{v} \quad\Rightarrow\quad \vec{b}_{2} = \frac{2\vec{u} + 3\vec{v}}{5}.

Passo 5

Calcular explicitamente \vec{b}_{2} fazendo as contas componente a componente.
  • Calcular 2\vec{u} e 3\vec{v}:
2\vec{u} = 2(-5,8)=(-10,16), \qquad 3\vec{v} = 3(5,-7)=(15,-21).
  • Somando:
2\vec{u}+3\vec{v}=(-10+15,\;16-21)=(5,-5).
  • Dividindo por 5:
\vec{b}_{2}=\frac{1}{5}(5,-5)=(1,-1).
  • Verificação rápida (opcional, mas didática): a partir de \vec{b}_{2}=(1,-1) e \vec{v}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2} obtemos
2\vec{b}_{1}=\vec{v}+\vec{b}_{2}=(5, -7)+(1,-1)=(6,-8),
logo \vec{b}_{1}=(3,-4). Substituindo em \vec{u}=-3\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}:
-3(3,-4)+4(1,-1)=(-9,12)+(4,-4)=(-5,8)=\vec{u},
confirma que está correto.

Resposta

(E) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1\end{array}\right]

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