Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-5,8) e \vec{v}=(5,-7). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-3,4) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
Vetores na base canônica: \vec{u}=(-5,8) e \vec{v}=(5,-7).
Coordenadas desses vetores na base \beta: [\vec{u}]_{\beta}=(-3,4) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,-1).
O que o enunciado pede:
Determinar \vec{b}_{2}. As alternativas mostram apenas a segunda coordenada de \vec{b}_{2} (com um * para a primeira coordenada), então é preciso identificar qual opção tem a segunda coordenada correta. É aceitável também encontrar \vec{b}_{2} explicitamente.
Passo 2
Entendendo a relação entre coordenadas em uma base e combinação linear.
Se [\vec{u}]_{\beta}=(-3,4), isso significa que, na base \beta,
\vec{u} = -3\vec{b}_{1} + 4\vec{b}_{2}.
Se [\vec{v}]_{\beta}=(2,-1), isso significa que
\vec{v} = 2\vec{b}_{1} - 1\vec{b}_{2}.
Essas duas igualdades são vetoriais na base canônica (componentes em \mathbb{R}^2). Vou usar essas igualdades para achar \vec{b}_{2}.
Passo 3
Escrever as incógnitas e as equações em componentes.
Denote \vec{b}_{1}=(x_{1},y_{1}) e \vec{b}_{2}=(x_{2},y_{2}). As igualdades do passo anterior se tornam, componente a componente:
A partir de \vec{u}=-3\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}=(-5,8):
-3x_{1}+4x_{2}=-5, \qquad -3y_{1}+4y_{2}=8.
A partir de \vec{v}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=(5,-7):
2x_{1}-x_{2}=5, \qquad 2y_{1}-y_{2}=-7.
Temos, portanto, dois sistemas pareados para as componentes x e y. Vou resolver de forma vetorial para evitar repetir o mesmo procedimento duas vezes.
Passo 4
Resolver de forma vetorial eliminando \vec{b}_{1} para obter \vec{b}_{2}.
Da equação vetorial \vec{v}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2} temos