Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{21}=-5,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(2,-1,0),(3,0,1)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(-2,-1,2)\}.
A entrada a_{13} vale:
(A) 25
(B) 26
(C) 27
(D) 28
(E) 29
(F) 30
(G) 31
(H) 32

Passo 1

O enunciado pede o valor da entrada a_{13} da matriz A. As informações dadas são:
  • a_{21} = -5.
  • \ker A = \operatorname{span}\{(2,-1,0),(3,0,1)\}.
  • \operatorname{Im} A = \operatorname{span}\{(-2,-1,2)\}.
Vou listar o que isso significa, em palavras bem claras:
  • O núcleo tem dimensão 2 (dois vetores linearmente independentes), portanto a transformação linear representada por A tem posto 1 (pela dimensão do espaço de chegada sendo 3, pelo teorema do posto-nulidade: \dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=3).
  • A imagem é um subespaço de dimensão 1, gerado pelo vetor v = (-2,-1,2). Isso significa que todas as colunas de A são múltiplos escalares de v.
  • Queremos encontrar especificamente a_{13}, a entrada na linha 1, coluna 3.

Passo 2

Explicando a ideia central (passo-a-passo): para uma matriz A de posto 1 cujas colunas estão em \operatorname{span}\{v\}, podemos escrever cada coluna c_j como c_j = k_j v para algum escalar k_j\in\mathbb{R}. Escrevendo as três colunas:
c_1 = k_1 v,\qquad c_2 = k_2 v,\qquad c_3 = k_3 v.
Aqui c_j é a coluna j de A (um vetor em \mathbb{R}^3) e k_j é o escalar multiplicador dessa coluna.

Passo 3

Agora uso a informação do núcleo. Se w\in\ker A então A w = 0. Aplicando isso aos geradores do núcleo:
Para w_1=(2,-1,0):
A w_1 = 2 c_1 - 1\cdot c_2 + 0\cdot c_3 = 0.
Portanto,
2c_1 - c_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 2 c_1.
Para w_2=(3,0,1):
A w_2 = 3 c_1 + 0\cdot c_2 + 1\cdot c_3 = 0.
Portanto,
3c_1 + c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_3 = -3 c_1.

Passo 4

Agora junte as duas informações: cada coluna é múltipla do mesmo vetor v e estas relações entre colunas:
c_1 = k_1 v,\qquad c_2 = k_2 v,\qquad c_3 = k_3 v,
e pelas relações do núcleo:
c_2 = 2 c_1 \quad\text{e}\quad c_3 = -3 c_1.
Substituindo c_j = k_j v obtenho:
k_2 v = 2 k_1 v \quad\Rightarrow\quad k_2 = 2 k_1,
k_3 v = -3 k_1 v \quad\Rightarrow\quad k_3 = -3 k_1.
Logo basta um único parâmetro, digamos k_1=\alpha. Então
c_1 = \alpha v,\qquad c_2 = 2\alpha v,\qquad c_3 = -3\alpha v.

Passo 5

Escrevendo a matriz A pela colunas:
A = \big[\,c_1\; c_2\; c_3\,\big] = \alpha\big[\,v\; 2v\; -3v\,\big] = \alpha\, v \begin{bmatrix}1 & 2 & -3\end{bmatrix}.
Isto é, A é um produto externo (outer product) do vetor v com o vetor linha \begin{bmatrix}1 & 2 & -3\end{bmatrix}, multiplicado pelo escalar \alpha. Em componentes, se v=(v_1,v_2,v_3) e r=(1,2,-3), então
a_{ij} = \alpha\, v_i\, r_j.

Passo 6

Agora uso o valor dado a_{21}=-5. Aqui a_{21} é a entrada linha 2, coluna 1. Pela fórmula acima,
a_{21} = \alpha\, v_2\, r_1.
Recordando v = (-2,-1,2) e r_1 = 1, tem-se v_2 = -1. Portanto
a_{21} = \alpha\cdot(-1)\cdot 1 = -\alpha.
Como a_{21}=-5, segue
-\alpha = -5 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 5.

Passo 7

Com \alpha=5 determinado, calculo a_{13}. A entrada a_{13} é a linha 1, coluna 3. Pela fórmula:
a_{13} = \alpha\, v_1\, r_3.
Aqui v_1 = -2 (primeira componente de v) e r_3 = -3 (terceiro componente de r). Substituindo:
a_{13} = 5 \cdot (-2) \cdot (-3).

Passo 8

Faço a conta passo a passo: (-2)\cdot(-3)=6, então
a_{13} = 5 \cdot 6 = 30.

Resposta

(F) 30

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