Q5: Calcule a matriz
, sabendo que:
-
,
- Núcleo
e
- Imagem
.
A entrada
vale:
(A) 25
(B) 26
(C) 27
(D) 28
(E) 29
(F) 30
(G) 31
(H) 32
(A) 25
(B) 26
(C) 27
(D) 28
(E) 29
(F) 30
(G) 31
(H) 32
Passo 1
O enunciado pede o valor da entrada
da matriz
. As informações dadas são:
-
. -
. -
.
Vou listar o que isso significa, em palavras bem claras:
- O núcleo tem dimensão
(dois vetores linearmente independentes), portanto a transformação linear representada por tem posto (pela dimensão do espaço de chegada sendo , pelo teorema do posto-nulidade: ). - A imagem é um subespaço de dimensão
, gerado pelo vetor . Isso significa que todas as colunas de são múltiplos escalares de . - Queremos encontrar especificamente
, a entrada na linha , coluna .
Passo 2
Explicando a ideia central (passo-a-passo): para uma matriz
de posto
cujas colunas estão em
, podemos escrever cada coluna
como
para algum escalar
. Escrevendo as três colunas:
Aqui
é a coluna
de
(um vetor em
) e
é o escalar multiplicador dessa coluna.
Passo 3
Agora uso a informação do núcleo. Se
então
. Aplicando isso aos geradores do núcleo:
Para
:
Portanto,
Para
:
Portanto,
Passo 4
Agora junte as duas informações: cada coluna é múltipla do mesmo vetor
e estas relações entre colunas:
e pelas relações do núcleo:
Substituindo
obtenho:
Logo basta um único parâmetro, digamos
. Então
Passo 5
Escrevendo a matriz
pela colunas:
Isto é,
é um produto externo (outer product) do vetor
com o vetor linha
, multiplicado pelo escalar
. Em componentes, se
e
, então
Passo 6
Agora uso o valor dado
. Aqui
é a entrada linha
, coluna
. Pela fórmula acima,
Recordando
e
, tem-se
. Portanto
Como
, segue
Passo 7
Com
determinado, calculo
. A entrada
é a linha
, coluna
. Pela fórmula:
Aqui
(primeira componente de
) e
(terceiro componente de
). Substituindo:
Passo 8
Faço a conta passo a passo:
, então
Resposta
(F) 30