Sejam boldsymbol{T} e boldsymbol{S} dois tensores lineares. Mostre que:
\boldsymbol{T}^{\top}+\boldsymbol{S}^{\top}=(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})^{\top}

Passo 1

O enunciado dá duas informações e faz uma pergunta clara. Lista delas:
  • Dado: \boldsymbol{T} e \boldsymbol{S} são tensores lineares (ou seja, operadores lineares representáveis por matrizes numa base de dimensão finita).
  • Pedido: Mostrar a igualdade
\boldsymbol{T}^{\top}+\boldsymbol{S}^{\top}=(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})^{\top}.
Não resolvemos nada ainda; só deixamos explícito o que foi dado e o que precisamos provar.

Passo 2

Escolhemos uma base conveniente para trabalhar com componentes. Seja \{e_1,\dots,e_n\} uma base de V. Representamos \boldsymbol{T} e \boldsymbol{S} por suas matrizes de componentes na base escolhida. Definimos as componentes por:
\boldsymbol{T}e_j=\sum_{i=1}^{n}T_{ij}\,e_i,\qquad \boldsymbol{S}e_j=\sum_{i=1}^{n}S_{ij}\,e_i.
Aqui \,T_{ij} é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz de \boldsymbol{T} — ou seja, é a coordenada i da imagem do vetor base e_j. Mesmo para quem está meio perdido: pense em cada coluna como a imagem de um vetor base.

Passo 3

Mostramos como é a matriz da soma \boldsymbol{T}+\boldsymbol{S}. Por linearidade,
(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})e_j=\boldsymbol{T}e_j+\boldsymbol{S}e_j =\sum_{i=1}^{n}(T_{ij}+S_{ij})\,e_i.
Portanto a matriz de \boldsymbol{T}+\boldsymbol{S} tem entrada (T+S)_{ij}=T_{ij}+S_{ij}. Em palavras: soma de operadores corresponde à soma termo a termo das suas entradas.

Passo 4

Agora definimos o transposto em termos de componentes. A definição simples e prática (em componente) é:
\boldsymbol{T}^{\top}\text{ tem entradas }T^{\top}_{ij}=T_{ji},
ou seja, a operação de transpor troca linhas por colunas, isto é, troca os índices i e j.

Passo 5

Aplicamos a definição de transposto à matriz da soma. As entradas do transposto de \boldsymbol{T}+\boldsymbol{S} são
\big((\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})^{\top}\big)_{ij}=(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})_{ji}.
Usando o resultado do Passo 3, isso vira
\big((\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})^{\top}\big)_{ij}=T_{ji}+S_{ji}.

Passo 6

Agora escrevemos as entradas do lado esquerdo pedido, \boldsymbol{T}^{\top}+\boldsymbol{S}^{\top}. Pela definição do transposto,
(\boldsymbol{T}^{\top}+\boldsymbol{S}^{\top})_{ij}=T^{\top}_{ij}+S^{\top}_{ij}=T_{ji}+S_{ji}.

Passo 7

Comparamos as entradas obtidas nos passos anteriores. Vimos que para todo i,j
\big((\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})^{\top}\big)_{ij}=T_{ji}+S_{ji}=(\boldsymbol{T}^{\top}+\boldsymbol{S}^{\top})_{ij}.
Como as duas matrizes têm todas as entradas iguais, elas representam o mesmo operador linear. Portanto
\boldsymbol{T}^{\top}+\boldsymbol{S}^{\top}=(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})^{\top}.

Passo 8

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (só para ver na prática): seja
\boldsymbol{T}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{S}=\begin{pmatrix}5 & 6\\[4pt]7 & 8\end{pmatrix}.
Então
\boldsymbol{T}^{\top}+\boldsymbol{S}^{\top}= \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5 & 7\\[4pt]6 & 8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6 & 10\\[4pt]8 & 12\end{pmatrix},
e
(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})^{\top}= \begin{pmatrix}6 & 8\\[4pt]10 & 12\end{pmatrix}^{\!\top}= \begin{pmatrix}6 & 10\\[4pt]8 & 12\end{pmatrix},
mesmo resultado — bateu com o que provamos.]

Resposta

\boldsymbol{T}^{\top}+\boldsymbol{S}^{\top}=(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{S})^{\top}

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