Sejam
e
dois tensores lineares. Mostre que:
Passo 1
O enunciado dá duas informações e faz uma pergunta clara. Lista delas:
- Dado:
e são tensores lineares (ou seja, operadores lineares representáveis por matrizes numa base de dimensão finita). - Pedido: Mostrar a igualdade
Não resolvemos nada ainda; só deixamos explícito o que foi dado e o que precisamos provar.
Passo 2
Escolhemos uma base conveniente para trabalhar com componentes. Seja
uma base de
. Representamos
e
por suas matrizes de componentes na base escolhida. Definimos as componentes por:
Aqui
é o elemento da
-ésima linha e
-ésima coluna da matriz de
— ou seja, é a coordenada
da imagem do vetor base
. Mesmo para quem está meio perdido: pense em cada coluna como a imagem de um vetor base.
Passo 3
Mostramos como é a matriz da soma
. Por linearidade,
Portanto a matriz de
tem entrada
. Em palavras: soma de operadores corresponde à soma termo a termo das suas entradas.
Passo 4
Agora definimos o transposto em termos de componentes. A definição simples e prática (em componente) é:
ou seja, a operação de transpor troca linhas por colunas, isto é, troca os índices
e
.
Passo 5
Aplicamos a definição de transposto à matriz da soma. As entradas do transposto de
são
Usando o resultado do Passo 3, isso vira
Passo 6
Agora escrevemos as entradas do lado esquerdo pedido,
. Pela definição do transposto,
Passo 7
Comparamos as entradas obtidas nos passos anteriores. Vimos que para todo
Como as duas matrizes têm todas as entradas iguais, elas representam o mesmo operador linear. Portanto
Passo 8
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (só para ver na prática): seja
Então
e
mesmo resultado — bateu com o que provamos.]