Questão 1: Um tensor \boldsymbol{T} transforma os vetores da base \boldsymbol{e}_{1} e \boldsymbol{e}_{2} de tal forma que
\boldsymbol{T} \boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}, \quad \boldsymbol{T} \boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}
Se
\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{e}_{1}+3 \boldsymbol{e}_{2}, \quad \boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}+2 \boldsymbol{e}_{2}
use a propriedade de linearidade de \boldsymbol{T} para encontrar:
(a) \boldsymbol{T} \boldsymbol{a};
(b) \boldsymbol{T} \boldsymbol{b};
(c) \boldsymbol{T}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}).

Passo 1

O enunciado dá as imagens das bases pelo tensor \boldsymbol{T} e pede para aplicar \boldsymbol{T} em vetores dados. Perguntas específicas:
  • Encontrar \boldsymbol{T}\boldsymbol{a}.
  • Encontrar \boldsymbol{T}\boldsymbol{b}.
  • Encontrar \boldsymbol{T}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}).
Informações fornecidas (vou listar exatamente como estão no enunciado):
\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\qquad \boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}
\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2},\qquad \boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}

Passo 2

Explicação da propriedade usada: linearidade de \boldsymbol{T}.
Por definição, dizer que \boldsymbol{T} é linear significa que, para quaisquer vetores \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} e escalares c_{1},c_{2},
\boldsymbol{T}\big(c_{1}\boldsymbol{u}+c_{2}\boldsymbol{v}\big)=c_{1}\boldsymbol{T}\boldsymbol{u}+c_{2}\boldsymbol{T}\boldsymbol{v}.
Aqui c_{1} e c_{2} são números (escalars) e \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} são vetores. Essa propriedade permite calcular \boldsymbol{T} em qualquer combinação linear dos vetores da base conhecendo apenas \boldsymbol{T} sobre a base.
No nosso caso usaremos essa fórmula com \boldsymbol{u}=\boldsymbol{e}_{1} e \boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}_{2} e com os coeficientes dados nos vetores \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b}.

Passo 3

Calcular \boldsymbol{T}\boldsymbol{a}.
Começo escrevendo \boldsymbol{a} como combinação linear da base (já dada):
\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}.
Pelo princípio da linearidade,
\boldsymbol{T}\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_{2}.
Agora substituo as imagens da base (dados do enunciado):
\boldsymbol{T}\boldsymbol{a}=2(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2})+3(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}).
Distribuo os escalares e somo termos semelhantes passo a passo:
2(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2})=2\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2},
3(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})=3\boldsymbol{e}_{1}-3\boldsymbol{e}_{2}.
Somando:
\boldsymbol{T}\boldsymbol{a}=(2\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{1})+(2\boldsymbol{e}_{2}-3\boldsymbol{e}_{2})=5\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}.

Passo 4

Calcular \boldsymbol{T}\boldsymbol{b}.
Escrevo \boldsymbol{b}:
\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}.
Aplicando linearidade:
\boldsymbol{T}\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_{2}.
Substituo as imagens da base:
\boldsymbol{T}\boldsymbol{b}=3(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2})+2(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}).
Distribuindo:
3(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2})=3\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2},
2(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})=2\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2}.
Somando:
\boldsymbol{T}\boldsymbol{b}=(3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{1})+(3\boldsymbol{e}_{2}-2\boldsymbol{e}_{2})=5\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}.

Passo 5

Calcular \boldsymbol{T}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}).
Primeira forma — usando a soma dos vetores antes de aplicar \boldsymbol{T}:
Somando \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b}:
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2})+(3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2})=(2+3)\boldsymbol{e}_{1}+(3+2)\boldsymbol{e}_{2}=5\boldsymbol{e}_{1}+5\boldsymbol{e}_{2}.
Agora aplico \boldsymbol{T} por linearidade:
\boldsymbol{T}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=5\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_{1}+5\boldsymbol{T}\boldsymbol{e}_{2}.
Substituindo:
\boldsymbol{T}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=5(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2})+5(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}).
Distribuindo e somando:
=5\boldsymbol{e}_{1}+5\boldsymbol{e}_{2}+5\boldsymbol{e}_{1}-5\boldsymbol{e}_{2}=(5+5)\boldsymbol{e}_{1}+(5-5)\boldsymbol{e}_{2}=10\boldsymbol{e}_{1}.
Segunda forma — consistência com linearidade (checagem rápida):
Como \boldsymbol{T} é linear, deve valer
\boldsymbol{T}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{T}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{T}\boldsymbol{b}.
Usando os resultados obtidos nos Passos 3 e 4:
\boldsymbol{T}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{T}\boldsymbol{b}=(5\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})+(5\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2})=10\boldsymbol{e}_{1},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

(a) \boldsymbol{T}\boldsymbol{a}=5\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}
(b) \boldsymbol{T}\boldsymbol{b}=5\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}
(c) \boldsymbol{T}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=10\boldsymbol{e}_{1}

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