Questão 1: Um tensor
transforma os vetores da base
e
de tal forma que
Se
use a propriedade de linearidade de
para encontrar:
(a)
;
(b)
;
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá as imagens das bases pelo tensor
e pede para aplicar
em vetores dados. Perguntas específicas:
- Encontrar
. - Encontrar
. - Encontrar
.
Informações fornecidas (vou listar exatamente como estão no enunciado):
Passo 2
Explicação da propriedade usada: linearidade de
.
Por definição, dizer que
é linear significa que, para quaisquer vetores
e escalares
,
Aqui
e
são números (escalars) e
são vetores. Essa propriedade permite calcular
em qualquer combinação linear dos vetores da base conhecendo apenas
sobre a base.
No nosso caso usaremos essa fórmula com
e
e com os coeficientes dados nos vetores
e
.
Passo 3
Calcular
.
Começo escrevendo
como combinação linear da base (já dada):
Pelo princípio da linearidade,
Agora substituo as imagens da base (dados do enunciado):
Distribuo os escalares e somo termos semelhantes passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular
.
Escrevo
:
Aplicando linearidade:
Substituo as imagens da base:
Distribuindo:
Somando:
Passo 5
Calcular
.
Primeira forma — usando a soma dos vetores antes de aplicar
:
Somando
e
:
Agora aplico
por linearidade:
Substituindo:
Distribuindo e somando:
Segunda forma — consistência com linearidade (checagem rápida):
Como
é linear, deve valer
Usando os resultados obtidos nos Passos 3 e 4:
o que confirma o resultado anterior.
Resposta
(a)
(b)
(c)