(a) Encontre a matriz de \boldsymbol{R} na base \left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right\};
(b) Verifique que \boldsymbol{R}^{\top} \boldsymbol{R}=\boldsymbol{I};
(c) Verifique que \operatorname{det} \boldsymbol{R}=1.
Passo 1
O enunciado dá a ação da rotação \boldsymbol{R} sobre os vetores da base canônica \{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\}:
As perguntas são:
(a) encontrar a matriz de \boldsymbol{R} na base \{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\};
(b) verificar que \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I};
(c) verificar que \det\boldsymbol{R}=1.
As informações relevantes são justamente as imagens de cada vetor da base dadas acima — elas determinam completamente a matriz de \boldsymbol{R}.
Passo 2
Lembrete prático (passo-a-passo para montar a matriz): quando sabemos \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{j} em coordenadas da mesma base, a j-ésima coluna da matriz de \boldsymbol{R} é exatamente o vetor coluna de coordenadas de \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{j}. Vou aplicar isso diretamente às três imagens fornecidas.
Passo 3
Usando a regra do passo anterior: \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{2} implica que a primeira coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{3} implica que a segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{3}=\boldsymbol{e}_{1} implica que a terceira coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto a matriz é
Para verificar \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I} podemos observar que as colunas de \boldsymbol{R} são \boldsymbol{c}_{1}=\boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{c}_{2}=\boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{c}_{3}=\boldsymbol{e}_{1}. As entradas de \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R} são produtos internos entre essas colunas:
Se quiser ver multiplicação explícita, um termo genérico dá (\boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R})_{11} = 0\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot0 = 1, e assim por diante, todas as entradas seguem esse padrão e resultam na identidade.]
Passo 5
Breve explicação conceitual (para a prova): uma matriz cujas colunas formam um conjunto ortonormal satisfaz \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}; tais matrizes são chamadas ortogonais. Aqui as colunas são permutações dos vetores da base canônica (logo são ortonormais), por isso \boldsymbol{R} é ortogonal.
Passo 6
Agora a determinante. Há duas maneiras claras e rápidas:
Método 1 — propriedade de matrizes de permutação: \boldsymbol{R} é uma matriz de permutação que representa a permutação cíclica (1\;2\;3). O sinal de um ciclo de comprimento k é (-1)^{k-1}. Para k=3 isso dá (-1)^{2}=+1. Como determinante de uma matriz de permutação é o sinal da permutação, segue \det\boldsymbol{R}=1.
Método 2 — expansão por cofatores (computação direta): expando pela primeira linha (0,0,1),