Questão 2: Uma rotação (ou tensor de rotação) \boldsymbol{R} é definida pela ação sobre os vetores da base:
\boldsymbol{R} \boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{2}, \quad \boldsymbol{R} \boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{3}, \quad \boldsymbol{R} \boldsymbol{e}_{3}=\boldsymbol{e}_{1}
(a) Encontre a matriz de \boldsymbol{R} na base \left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right\};
(b) Verifique que \boldsymbol{R}^{\top} \boldsymbol{R}=\boldsymbol{I};
(c) Verifique que \operatorname{det} \boldsymbol{R}=1.

Passo 1

O enunciado dá a ação da rotação \boldsymbol{R} sobre os vetores da base canônica \{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\}:
\boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{2},\qquad \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{3},\qquad \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{3}=\boldsymbol{e}_{1}.
As perguntas são:
(a) encontrar a matriz de \boldsymbol{R} na base \{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\};
(b) verificar que \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I};
(c) verificar que \det\boldsymbol{R}=1.
As informações relevantes são justamente as imagens de cada vetor da base dadas acima — elas determinam completamente a matriz de \boldsymbol{R}.

Passo 2

Lembrete prático (passo-a-passo para montar a matriz): quando sabemos \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{j} em coordenadas da mesma base, a j-ésima coluna da matriz de \boldsymbol{R} é exatamente o vetor coluna de coordenadas de \boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{j}. Vou aplicar isso diretamente às três imagens fornecidas.

Passo 3

Usando a regra do passo anterior:
\boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{2} implica que a primeira coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
\boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{3} implica que a segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
\boldsymbol{R}\boldsymbol{e}_{3}=\boldsymbol{e}_{1} implica que a terceira coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto a matriz é
\boldsymbol{R}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos calcular \boldsymbol{R}^{\top}. Transpor troca linhas por colunas, então
\boldsymbol{R}^{\top}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para verificar \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I} podemos observar que as colunas de \boldsymbol{R} são \boldsymbol{c}_{1}=\boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{c}_{2}=\boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{c}_{3}=\boldsymbol{e}_{1}. As entradas de \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R} são produtos internos entre essas colunas:
(\boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R})_{ij}=\boldsymbol{c}_{i}\cdot\boldsymbol{c}_{j}.
Como \boldsymbol{e}_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{j}=\delta_{ij} (delta de Kronecker: vale 1 se i=j, e 0 se i\ne j), temos
\boldsymbol{c}_{i}\cdot\boldsymbol{c}_{j}=\delta_{ij}.
Logo todas as entradas diagonais são 1 e todas as off-diagonais são 0, isto é
\boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}.
Se quiser ver multiplicação explícita, um termo genérico dá (\boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R})_{11} = 0\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot0 = 1, e assim por diante, todas as entradas seguem esse padrão e resultam na identidade.]

Passo 5

Breve explicação conceitual (para a prova): uma matriz cujas colunas formam um conjunto ortonormal satisfaz \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}; tais matrizes são chamadas ortogonais. Aqui as colunas são permutações dos vetores da base canônica (logo são ortonormais), por isso \boldsymbol{R} é ortogonal.

Passo 6

Agora a determinante. Há duas maneiras claras e rápidas:
Método 1 — propriedade de matrizes de permutação: \boldsymbol{R} é uma matriz de permutação que representa a permutação cíclica (1\;2\;3). O sinal de um ciclo de comprimento k é (-1)^{k-1}. Para k=3 isso dá (-1)^{2}=+1. Como determinante de uma matriz de permutação é o sinal da permutação, segue \det\boldsymbol{R}=1.
Método 2 — expansão por cofatores (computação direta): expando pela primeira linha (0,0,1),
\det\boldsymbol{R}=0\cdot C_{11}-0\cdot C_{12}+1\cdot C_{13},
o cofactor C_{13}=(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=+1\cdot(1\cdot1-0\cdot0)=1. Assim \det\boldsymbol{R}=1.
Ambos os métodos dão o mesmo resultado: \det\boldsymbol{R}=1.]

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}
\displaystyle \boldsymbol{R}^{\top}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}
\displaystyle \det\boldsymbol{R}=1]

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