Sejam cinco pontos coplanares G, H, I, J e K tais que as retas G H e G I são concorrentes e G está entre H e J e entre I e K. Mostre algebricamente que os ângulos widehatH G I e widehatJ G K são congruentes.

Passo 1

Temos cinco pontos coplanares G, H, I, J e K tais que as retas GH e GI se cruzam em G e G está entre H e J e entre I e K. Logo H, G, J são colineares e I, G, K são colineares. Para mostrar que widehatHGI e widehatJGK são congruentes, vamos usar o produto escalar e a definição de cosseno de ângulo entre vetores.

Passo 2

Como H, G, J são colineares com G entre H e J, os vetores GH e GJ são opostos. Logo,
GH = -GJ
De modo análogo, como I, G, K são colineares com G entre I e K, temos
GI = -GK

Passo 3

Pela definição de produto escalar e cosseno de ângulo entre vetores,
cos(widehatHGI) = GHcdotGI |GH|;|GI|

Passo 4

Substituindo GH = -GJ e GI = -GK no numerador e usando |-v|=|v|, obtemos
GHcdotGI = (-GJ)cdot(-GK) = GJcdotGK,
|GH|;|GI| = |GJ|;|GK|

Passo 5

Portanto,
cos(widehatHGI) = GJcdotGK |GJ|;|GK| = cos(widehatJGK)
Como os cossenos são iguais, concluímos que
widehatHGI e widehatJGK são congruentes.

Resposta

Os ângulos widehatHGI e widehatJGK são congruentes.

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