Sejam cinco pontos coplanares e tais que as retas e são concorrentes e está entre e e entre e . Mostre algebricamente que os ângulos e são congruentes.
Passo 1
Temos cinco pontos coplanares , , , e tais que as retas e se cruzam em e está entre e e entre e . Logo , , são colineares e , , são colineares. Para mostrar que e são congruentes, vamos usar o produto escalar e a definição de cosseno de ângulo entre vetores.
Passo 2
Como , , são colineares com entre e , os vetores e GJ são opostos. Logo,
GH = -GJ
De modo análogo, como I, G, K são colineares com G entre I e K, temos
GI = -GK
Passo 3
Pela definição de produto escalar e cosseno de ângulo entre vetores,
cos(widehatHGI) = GHcdotGI |GH|;|GI|
Passo 4
Substituindo GH = -GJ e GI = -GK no numerador e usando |-v|=|v|, obtemos