Sejam os conjuntos A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\}. Determine:
A \Delta B

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos:
  • A=\{1,2,3,4\}
  • B=\{3,4,5,6\}
  • C=\{4,5,6,7\}
A pergunta que devemos responder é: determinar A \Delta B.

Passo 2

O que é A \Delta B? Vou explicar devagar e com calma.
A definição padrão (uma que cai fácil na prova) é:
A \Delta B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A).
Isso significa: pegue os elementos que estão em A mas não em B e junte com os elementos que estão em B mas não em A. Outra forma equivalente, também útil, é
A \Delta B = (A\cup B)\setminus (A\cap B),
ou seja, tudo que está na união, menos o que está na interseção (os que estão em ambos). Vou usar a primeira definição porque é bem direta para calcular elemento a elemento.
Vou explicar os conceitos usados:
  • A\setminus B (lê-se “A menos B”) é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
  • B\setminus A é o conjunto dos elementos de B que não pertencem a A.
  • A união X\cup Y é o conjunto formado por todos os elementos que estão em X ou em Y (ou em ambos), sem repetição.

Passo 3

Calcular A\setminus B: preciso olhar cada elemento de A e ver se ele está em B.
  • O elemento 1 pertence a A. Verifico se 1\in B. Como B=\{3,4,5,6\}, 1\notin B. Logo 1\in A\setminus B.
  • O elemento 2 pertence a A. Verifico se 2\in B. Como 2\notin B, então 2\in A\setminus B.
  • O elemento 3 pertence a A. Verifico se 3\in B. Como 3\in B, então 3\notin A\setminus B.
  • O elemento 4 pertence a A. Verifico se 4\in B. Como 4\in B, então 4\notin A\setminus B.
Portanto
A\setminus B = \{1,2\}.

Passo 4

Calcular B\setminus A: faço o mesmo, olhando os elementos de B.
  • 3\in B. Verifico 3\in A? Sim, 3\in A, então 3\notin B\setminus A.
  • 4\in B. Verifico 4\in A? Sim, 4\in A, então 4\notin B\setminus A.
  • 5\in B. Verifico 5\in A? Não, 5\notin A. Logo 5\in B\setminus A.
  • 6\in B. Verifico 6\in A? Não, 6\notin A. Logo 6\in B\setminus A.
Assim
B\setminus A = \{5,6\}.

Passo 5

Agora aplico a definição da Passo 2:
A \Delta B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A).
Substituindo os conjuntos que encontramos:
A \Delta B = \{1,2\}\cup\{5,6\}.
A união junta os elementos sem repetição, então
A \Delta B = \{1,2,5,6\}.

Passo 6

Verificação alternativa (checar para garantir que não deu bobeira): calcule A\cup B e A\cap B.
  • A\cup B = \{1,2,3,4,5,6\}.
  • A\cap B = \{3,4\}.
    Então
(A\cup B)\setminus(A\cap B)=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{3,4\}=\{1,2,5,6\},
que bate com o resultado anterior. Beleza — tudo consistente.

Resposta

\{1,2,5,6\}

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