Sejam dados os planos
\begin{array}{ll} \pi_{1}: & x+y+z=0 \\\ \pi_{2}: & x-z=0 \\\ \pi_{3}: & 2 y-z=0 \end{array}
Seja s_{i} a reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano \pi_{i}(i=1,2,3). Seja r_{1}=\pi_{2} \cap \pi_{3}, r_{2}=\pi_{1} \cap \pi_{3} e r_{3}=\pi_{1} \cap \pi_{2}. Mostrar que os planos determinados pelos pares de retas \left(r_{1}, s_{1}\right),\left(r_{2}, s_{2}\right) e \left(r_{3}, s_{3}\right) passam por uma mesma reta.

Passo 1

O enunciado dá três planos passando pela origem:
\pi_{1}: x+y+z=0,\quad \pi_{2}: x-z=0,\quad \pi_{3}: 2y-z=0
e define
  • s_i como a reta pela origem perpendicular a \pi_i (logo, na direção do vetor normal de \pi_i),
  • r_1=\pi_2\cap\pi_3, r_2=\pi_1\cap\pi_3, r_3=\pi_1\cap\pi_2.
    Queremos mostrar que os três planos P_i gerados pelos pares (r_i,s_i) possuem uma reta em comum.

Passo 2

Vamos anotar os vetores normais de cada plano, que são também as direções de s_i:
n_1=(1,1,1),\quad n_2=(1,0,-1),\quad n_3=(0,2,-1).

Passo 3

Para cada reta r_i=\pi_j\cap\pi_k, a direção de r_i é dada por n_j\times n_k. Calculamos:
r_1:\;v_1=n_2\times n_3=(1,0,-1)\times(0,2,-1)=(2,1,2),
r_2:\;v_2=n_1\times n_3=(1,1,1)\times(0,2,-1)=(-3,1,2),
r_3:\;v_3=n_1\times n_2=(1,1,1)\times(1,0,-1)=(-1,2,-1).

Passo 4

O plano P_i gerado por s_i (na direção n_i) e r_i (na direção v_i) tem como vetor normal o produto vetorial n_i\times v_i. Logo:
P_1:\;m_1=n_1\times v_1=(1,1,1)\times(2,1,2)=(1,0,-1),
P_2:\;m_2=n_2\times v_2=(1,0,-1)\times(-3,1,2)=(1,1,1),
P_3:\;m_3=n_3\times v_3=(0,2,-1)\times(-1,2,-1)=(0,1,2).
Assim as equações são
P_1:x - z=0,\quad P_2:x+y+z=0,\quad P_3:y+2z=0.

Passo 5

A interseção P_1\cap P_2\) satisfaz \[\begin{cases} x-z=0,\\\ x+y+z=0, \end{cases}
daí z=x\] e \(y=-2x. Logo
P_1\cap P_2=\{(x,-2x,x)\mid x\in\mathbb R\},
que é exatamente a reta r_3, já que em \pi_1\cap\pi_2 temos as mesmas condições.

Passo 6

Basta verificar que todo ponto de r_3, dado por (x,-2x,x), satisfaz a equação de P_3:
y+2z=-2x+2x=0.
Logo r_3\subset P_3.

Resposta

Os três planos gerados por (r_1,s_1), (r_2,s_2) e (r_3,s_3) intersectam-se todos ao longo da reta
r_3=\{(x,-2x,x)\mid x\in\mathbb R\}=\pi_{1}\cap\pi_{2}.

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