Sejam dados os planos
Seja
a reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano
. Seja
e
. Mostrar que os planos determinados pelos pares de retas
e
passam por uma mesma reta.
Passo 1
O enunciado dá três planos passando pela origem:
e define
-
como a reta pela origem perpendicular a (logo, na direção do vetor normal de ), -
, , .
Queremos mostrar que os três planosgerados pelos pares possuem uma reta em comum.
Passo 2
Vamos anotar os vetores normais de cada plano, que são também as direções de
:
Passo 3
Para cada reta
, a direção de
é dada por
. Calculamos:
Passo 4
O plano
gerado por
(na direção
) e
(na direção
) tem como vetor normal o produto vetorial
. Logo:
Assim as equações são
Passo 5
A interseção
daí
. Logo
que é exatamente a reta
, já que em
temos as mesmas condições.
Passo 6
Basta verificar que todo ponto de
, dado por
, satisfaz a equação de
:
Logo
.
Resposta
Os três planos gerados por
,
e
intersectam-se todos ao longo da reta