Sejam
um domínio e
.
(I) Se
, então
são relativamente primos.
(I) Se
Passo 1
O enunciado trabalha em um domínio integral
e define
ou seja,
é um divisor comum máximo de
. Queremos mostrar que, ao definir
os elementos
são relativamente primos, isto é,
é uma unidade em
.
Passo 2
Definimos explicitamente
o que faz sentido porque
divide cada
. Logo
.
Passo 3
Seja
um divisor comum de
. Então, para todo
, existe
tal que
Multiplicando por
, obtemos
logo
divide cada
.
Passo 4
Pela maximalidade de
, todo divisor comum dos
deve dividir
. Assim,
divide
. Em outras palavras, existe
tal que
Passo 5
Como
é domínio integral e
, podemos cancelar
na equação acima, obtendo
Isto mostra que
é invertível em
, ou seja, uma unidade.
Passo 6
Concluímos que todo divisor comum
de
é unidade. Portanto
e isso significa que
são relativamente primos.
Resposta
Foi demonstrado que se
então
são relativamente primos.