Sejam A um domínio e a_{1}, \ldots, a_{n} \in A \backslash\{0\}.
(I) Se d=\operatorname{mdc}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), então
\frac{a_{1}}{d}, \ldots, \frac{a_{n}}{d}
são relativamente primos.

Passo 1

O enunciado trabalha em um domínio integral A e define
d = \mathrm{mdc}(a_{1},\dots,a_{n}),
ou seja, d é um divisor comum máximo de a_{1},\dots,a_{n}. Queremos mostrar que, ao definir
b_{i} = \frac{a_{i}}{d}\quad\text{para }i=1,\dots,n,
os elementos b_{1},\dots,b_{n} são relativamente primos, isto é, \mathrm{mdc}(b_{1},\dots,b_{n}) é uma unidade em A.

Passo 2

Definimos explicitamente
b_{i} = \frac{a_{i}}{d}\quad\text{em }A,
o que faz sentido porque d divide cada a_{i}. Logo a_{i}=d\,b_{i}.

Passo 3

Seja c\in A um divisor comum de b_{1},\dots,b_{n}. Então, para todo i, existe q_{i}\in A tal que
b_{i} = c\,q_{i}.
Multiplicando por d, obtemos
a_{i} = d\,b_{i} = d\,(c\,q_{i}) = (c\,d)\,q_{i},
logo c\,d divide cada a_{i}.

Passo 4

Pela maximalidade de d=\mathrm{mdc}(a_{1},\dots,a_{n}), todo divisor comum dos a_{i} deve dividir d. Assim, c\,d divide d. Em outras palavras, existe e\in A tal que
d = (c\,d)\,e = c\,(d\,e).

Passo 5

Como A é domínio integral e d\neq0, podemos cancelar d na equação acima, obtendo
1 = c\,e.
Isto mostra que c é invertível em A, ou seja, uma unidade.

Passo 6

Concluímos que todo divisor comum c de b_{1},\dots,b_{n} é unidade. Portanto
\mathrm{mdc}(b_{1},\dots,b_{n})\text{ é unidade},é
e isso significa que b_{1},\dots,b_{n} são relativamente primos.

Resposta

Foi demonstrado que se d=\mathrm{mdc}(a_{1},\dots,a_{n}) então \bigl(a_{1}/d,\dots,a_{n}/d\bigr) são relativamente primos.

Exercícios relacionados