Questão 56. (Menor múltiplo comum - mmc) Sejam A um domínio e a_{1}, \ldots, a_{n} \in A. Um elemento m \in A é um menor múltiplo comum de a_{1}, \ldots, a_{n}, notação: \operatorname{mmc}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), se são satisfeitas:
i. a_{i} \mid m, \forall i=1, \ldots, n.
ii. Se a_{i} \mid c, \forall i=1, \ldots, n, então m \mid c.
Mostre que se A é um domínio e a_{1}, \ldots, a_{n} \in A, então:
(II) Se m=\operatorname{mmc}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) existe, então \operatorname{mmc}\left(c a_{1}, \ldots, c a_{n}\right) existe para todo c \in A \backslash\{0\}) e \operatorname{mmc}\left(c a_{1}, \ldots, c a_{n}\right)=c m.

Passo 1

O enunciado define um domínio A e elementos a_{1},\dots,a_{n}\in A. Supondo que
m = \operatorname{mmc}(a_{1},\dots,a_{n})
exista, queremos mostrar que, para todo c\in A\setminus\{0\}, o elemento c\,m é o menor múltiplo comum de c a_{1},\dots,c a_{n}, isto é, que satisfaz as duas condições de mmc.

Passo 2

Primeiro verificamos que c\,m é múltiplo comum de c a_{1},\dots,c a_{n}. De fato, como a_{i}\mid m, existe d_{i}\in A tal que
m = a_{i}\,d_{i}.
Multiplicando por c, obtemos
c\,m = c\,a_{i}\,d_{i},
logo c a_{i}\mid c\,m para todo i.

Passo 3

Agora mostramos a propriedade de minimalidade: se c a_{i}\mid x para todo i, então c\,m\mid x. De c a_{i}\mid x segue que existe b_{i}\in A com
x = b_{i}\,(c a_{i}) = c\,(b_{i}a_{i}).
Assim cada b_{i}a_{i} é múltiplo de todos a_{1},\dots,a_{n}, então pelo caráter minimal de m temos m\mid b_{i}a_{i}. Portanto existe e_{i} tal que
b_{i}a_{i} = m\,e_{i},
e daí
x = c\,(m\,e_{i}) = (c\,m)\,e_{i},
ou seja, c\,m\mid x.

Passo 4

Concluímos que c\,m satisfaz as duas condições de mmc para os elementos c a_{1},\dots,c a_{n}. Logo
\operatorname{mmc}(c a_{1},\dots,c a_{n}) = c\,m.

Resposta

\displaystyle \operatorname{mmc}(c a_{1},\dots,c a_{n}) = c\,\operatorname{mmc}(a_{1},\dots,a_{n}).

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