- Sejam
e a EDO
.
(a) Mostre que
é uma solução da EDO.
(b) Determine a solução geral da EDO no intervalo (
).
(a) Mostre que
(b) Determine a solução geral da EDO no intervalo (
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e informa que uma solução particular é
. Estamos diante de uma equação de Euler–Cauchy de segunda ordem. Para resolvê-la, primeiro verificamos que
é solução e depois obtemos a solução geral por meio do método de equação característica.
Passo 2
Verificamos que
satisfaz a EDO. Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Logo,
é de fato solução.
Passo 3
Para encontrar a solução geral, usamos a forma
. Substituindo na EDO:
A equação característica é
que tem raiz dupla
.
Passo 4
Como a raiz
é de multiplicidade 2, a solução geral no intervalo
é dada por
onde
e
são constantes arbitrárias.