Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
(2 x-y+4) d y+(x-2 y+5) d x=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
(2x - y + 4)\,dy + (x - 2y + 5)\,dx = 0
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo envolve formas diferenciais não exatas e a busca de um fator integrante adequado, neste caso obtido por mudança de variáveis que elimina termos constantes, convertendo em equação homogênea.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, temos
M(x,y) = x - 2y + 5, \quad N(x,y) = 2x - y + 4.

Passo 3

Testamos exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = -2, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2,
logo \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, não é exata e nenhum fator integrante simples de x ou y funciona diretamente.

Passo 4

Para eliminar termos constantes, fazemos a mudança
u = x + 1, \quad v = y - 2.
Então dx = du e dy = dv. Em função de u,v,
M\,dx + N\,dy = (u-2v)\,du + (2u - v)\,dv = 0,
onde agora os coeficientes são homogêneos de grau 1.

Passo 5

Escrevemos a equação em forma de diferencial de v em relação a u:
\frac{dv}{du} = -\frac{u - 2v}{2u - v}.
Como é homogênea, definimos t = \frac{v}{u}, ou seja v = ut. Então
\frac{dv}{du} = t + u\frac{dt}{du},
e a equação vira
t + u\frac{dt}{du} = -\frac{1 - 2t}{2 - t}.

Passo 6

Isolando dt/du e separando variáveis:
u\frac{dt}{du} = -\frac{1-2t}{2-t} - t = \frac{t^2 - 1}{2 - t} = \frac{(t-1)(t+1)}{2 - t}.
Assim
\frac{2 - t}{(t-1)(t+1)}\,dt = \frac{du}{u}.
Fazendo frações parciais no lado esquerdo,
\frac{2 - t}{(t-1)(t+1)} = \frac{1/2}{t-1} - \frac{3/2}{t+1},
integramos:
\int\Bigl[\frac{1/2}{t-1} - \frac{3/2}{t+1}\Bigr]dt = \int\frac{du}{u}
\frac12\ln|t-1| - \frac32\ln|t+1| = \ln|u| + C.
Multiplicando por 2 e exponenciando,
\frac{t-1}{(t+1)^3} = K\,u^2.

Passo 7

Voltando às variáveis originais,
t = \frac{v}{u} = \frac{y-2}{x+1}, \quad u = x+1,
e
\frac{\frac{y-2}{x+1}-1}{\bigl(\frac{y-2}{x+1}+1\bigr)^3} = K\,(x+1)^2.
Isso leva, após simplificar (x+1)^2, a
\frac{y - x - 3}{(x + y - 1)^3} = K.
Usando y(0)=2, obtemos
\frac{2 - 0 -3}{(0 +2 -1)^3} = -1 = K.

Passo 8

Portanto a solução implícita do PVI é
\boxed{\,y - x - 3 + (x + y - 1)^3 = 0.}

Resposta

y - x - 3 + (x + y - 1)^3 = 0.

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