1. Sejam y_{1}(x)=x^{2} e a EDO x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0.
    (a) Mostre que y_{1}(x) é uma solução da EDO.
    (b) Determine a solução geral da EDO no intervalo ( 0, \infty ).

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
x^{2}y''-3x\,y'+4y=0
e informa que uma solução particular é y_{1}(x)=x^{2}. Estamos diante de uma equação de Euler–Cauchy de segunda ordem. Para resolvê-la, primeiro verificamos que y_{1} é solução e depois obtemos a solução geral por meio do método de equação característica.

Passo 2

Verificamos que y_{1}(x)=x^{2} satisfaz a EDO. Calculamos as derivadas:
y_{1}'(x)=2x, \qquad y_{1}''(x)=2.
Substituindo em x^{2}y''-3x\,y'+4y:
x^{2}\cdot 2 \;-\;3x\cdot(2x)\;+\;4\cdot(x^{2}) =2x^{2}-6x^{2}+4x^{2}=0.
Logo, y_{1}(x)=x^{2} é de fato solução.

Passo 3

Para encontrar a solução geral, usamos a forma y(x)=x^{r}. Substituindo na EDO:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)-3x\bigl(r x^{r-1}\bigr)+4x^{r} = x^{r}\bigl[r(r-1)-3r+4\bigr]=0.
A equação característica é
r(r-1)-3r+4=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-4r+4=0 \quad\Longrightarrow\quad (r-2)^{2}=0,
que tem raiz dupla r=2.

Passo 4

Como a raiz r=2 é de multiplicidade 2, a solução geral no intervalo (0,\infty) é dada por
y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{2}\ln(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{2}\ln(x).

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