1. (a) Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)=x^{3}, z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 .
(b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação.
(c) Determine a solução geral da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem
(x+3)y''+(x+2)y'-y=0
e pede em (a) testar as funções \;z_{1}(x)=x^{2},\;z_{2}(x)=x^{3},\;z_{3}(x)=e^{-x},
em (b), a partir de uma solução y_{1}, achar uma segunda solução y_{2} de modo que \{y_{1},y_{2}\} seja base de soluções, e em (c) escrever a solução geral. Usaremos cálculo de derivadas, substituição na EDO e o método de redução de ordem.

Passo 2

Testamos cada z_{i} calculando y',y'' e substituindo na EDO:
Para z_{1}(x)=x^{2}:
y'=2x,\quad y''=2,
(x+3)\cdot2+(x+2)\cdot2x - x^{2} =2x+6 +2x^{2}+4x -x^{2} =x^{2}+6x+6\neq0,
logo z_{1} não é solução.
Para z_{2}(x)=x^{3}:
y'=3x^{2},\quad y''=6x,
(x+3)\cdot6x+(x+2)\cdot3x^{2}-x^{3} =6x^{2}+18x+3x^{3}+6x^{2}-x^{3} =2x(x+3)^{2}\neq0
para todo x, logo z_{2} não é solução.
Para z_{3}(x)=e^{-x}:
y'=-e^{-x},\quad y''=e^{-x},
(x+3)e^{-x}+(x+2)(-e^{-x})-e^{-x} =e^{-x}\bigl[(x+3)-(x+2)-1\bigr]=0.
Portanto z_{3}(x)=e^{-x} é solução.

Passo 3

Concluímos que em (a) apenas
y_{1}(x)=e^{-x}
é solução da EDO.

Passo 4

Para (b) aplicamos o método de redução de ordem. Primeiro escrevemos a EDO na forma padrão
y''+\underbrace{\frac{x+2}{x+3}}_{P(x)}\,y'-\underbrace{\frac{1}{x+3}}_{Q(x)}\,y=0.
Sabendo y_{1}=e^{-x}, buscamos y_{2}=v(x)\,y_{1}. A fórmula leva a
v'(x)=\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}} \quad\text{com}\quad \int P\,dx=\int\frac{x+2}{x+3}\,dx =x-\ln|x+3|.
Logo
e^{-\int P\,dx}=(x+3)e^{-x},\quad y_{1}^{2}=e^{-2x},
v'(x)=\frac{(x+3)e^{-x}}{e^{-2x}}=(x+3)e^{x}, \qquad v(x)=\int (x+3)e^{x}\,dx =e^{x}(x+2).
Então
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x) =e^{x}(x+2)\,e^{-x}=x+2.

Passo 5

Em (c) a solução geral, combinação linear das duas soluções fundamentais, é
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}(x+2),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

(a) Apenas z_{3}(x)=e^{-x} é solução.
(b) Tomando y_{1}(x)=e^{-x}, obtemos
y_{2}(x)=x+2.
(c) A solução geral é
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}(x+2).

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