Sejam
eventos de um mesmo espaço amostral. Sabe-se que
-
é um subconjunto de
;
-
e
são independentes;
-
e
são mutuamente exclusivos.
A probabilidade do complementar da união dos eventos
e
é 0,48 ; a probabilidade da união dos eventos
e
é 0,3 e a probabilidade do evento
é o dobro da probabilidade do evento
. Calcule
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei tudo do enunciado):
-
é subconjunto de . -
e são independentes. -
e são mutuamente exclusivos. - A probabilidade do complementar da união de
e é . Ou seja, . - A probabilidade da união de
e é . Ou seja, . - A probabilidade de
é o dobro da de . Ou seja, .
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Relembrar e explicar as fórmulas e fatos que vamos usar (isso é importante para saber o que fazer depois).
- Complemento e união: se
então
Explicação: a probabilidade do complemento mais a probabilidade do evento cobrem todo o espaço amostral.
- Fórmula da união de dois eventos (vale para quaisquer eventos
e ):
Explicação: soma as probabilidades e subtrai a interseção para não contar duas vezes.
- Independência entre
e : isso quer dizer que
Explicação: quando dois eventos são independentes, a probabilidade conjunta fatoriza.
- Mutual exclusivity (
e são mutuamente exclusivos): isso significa que
e portanto, pela fórmula da união,
Explicação: eventos mutuamente exclusivos não ocorrem juntos, então a união soma simplesmente as probabilidades.
- Subconjunto:
implica que
e, consequentemente,
Explicação: se todo resultado de
já está em
, a união não acrescenta novos resultados.
Esses são os fatos que vamos aplicar aos números do enunciado.
Passo 3
Usar as informações sobre
e
para achar
e
.
Temos
e
. Como
e
são mutuamente exclusivos,
Substituindo
:
Logo
E então
Passo 4
Usar a informação sobre
e
para achar
a partir de
.
Pela fórmula da união,
Como
e
são independentes,
. Portanto
Já sabemos que
e que
. Substituindo:
Colocando os termos com
juntos:
Ou seja,
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Relacionar
com o que se pede.
Como
, temos
e, portanto,
Combinando com o resultado do passo anterior (onde
), concluímos o valor pedido.