Sejam A, B, C eventos de um mesmo espaço amostral. Sabe-se que
  • B é um subconjunto de A;
  • A e C são independentes;
  • B e C são mutuamente exclusivos.
A probabilidade do complementar da união dos eventos A e C é 0,48 ; a probabilidade da união dos eventos B e C é 0,3 e a probabilidade do evento C é o dobro da probabilidade do evento B. Calcule P(A \cup B).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei tudo do enunciado):
  • B é subconjunto de A.
  • A e C são independentes.
  • B e C são mutuamente exclusivos.
  • A probabilidade do complementar da união de A e C é 0,48. Ou seja, P\bigl((A\cup C)^c\bigr)=0,48.
  • A probabilidade da união de B e C é 0,3. Ou seja, P(B\cup C)=0,3.
  • A probabilidade de C é o dobro da de B. Ou seja, P\text{(C)}=2P(B).
O que se pede:
  • Calcular P(A\cup B).

Passo 2

Relembrar e explicar as fórmulas e fatos que vamos usar (isso é importante para saber o que fazer depois).
  1. Complemento e união: se P\bigl((A\cup C)^c\bigr)=0,48 então
P(A\cup C)=1-0,48=0,52.
Explicação: a probabilidade do complemento mais a probabilidade do evento cobrem todo o espaço amostral.
  1. Fórmula da união de dois eventos (vale para quaisquer eventos X e Y):
P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y).
Explicação: soma as probabilidades e subtrai a interseção para não contar duas vezes.
  1. Independência entre A e C: isso quer dizer que
P(A\cap C)=P(A)\,P\text{(C)}.
Explicação: quando dois eventos são independentes, a probabilidade conjunta fatoriza.
  1. Mutual exclusivity ( B e C são mutuamente exclusivos): isso significa que
P(B\cap C)=0,
e portanto, pela fórmula da união,
P(B\cup C)=P(B)+P\text{(C)}.
Explicação: eventos mutuamente exclusivos não ocorrem juntos, então a união soma simplesmente as probabilidades.
  1. Subconjunto: B\subseteq A implica que
A\cup B = A,
e, consequentemente,
P(A\cup B)=P(A).
Explicação: se todo resultado de B já está em A, a união não acrescenta novos resultados.
Esses são os fatos que vamos aplicar aos números do enunciado.

Passo 3

Usar as informações sobre B e C para achar P(B) e P\text{(C)}.
Temos P(B\cup C)=0,3 e P\text{(C)}=2P(B). Como B e C são mutuamente exclusivos,
P(B\cup C)=P(B)+P\text{(C)}.
Substituindo P\text{(C)}=2P(B):
P(B)+2P(B)=0,3.
Logo
3P(B)=0,3 \quad\Rightarrow\quad P(B)=0,1.
E então
P\text{(C)}=2P(B)=2\cdot 0,1=0,2.

Passo 4

Usar a informação sobre A e C para achar P(A) a partir de P(A\cup C)=0,52.
Pela fórmula da união,
P(A\cup C)=P(A)+P\text{(C)}-P(A\cap C).
Como A e C são independentes, P(A\cap C)=P(A)\,P\text{(C)}. Portanto
P(A\cup C)=P(A)+P\text{(C)}-P(A)P\text{(C)}.
Já sabemos que P(A\cup C)=0,52 e que P\text{(C)}=0,2. Substituindo:
0,52 = P(A)+0,2 - P(A)\cdot 0,2.
Colocando os termos com P(A) juntos:
0,52 = P(A)\bigl(1-0,2\bigr) + 0,2.
Ou seja,
0,52 = 0,8\,P(A) + 0,2.
Subtraindo 0,2 de ambos os lados:
0,32 = 0,8\,P(A).
Dividindo por 0,8:
P(A)=\frac{0,32}{0,8}=0,4.

Passo 5

Relacionar P(A) com o que se pede.
Como B\subseteq A, temos A\cup B=A e, portanto,
P(A\cup B)=P(A).
Combinando com o resultado do passo anterior (onde P(A)=0,4), concluímos o valor pedido.

Resposta

P(A\cup B)=0,4

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