Em um campeonato de natação, estão competindo três estudantes: Alberto, Bosco e Carlos. Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade de ganhar, que é o dobro da de Carlos ganhar.
(a) Ache a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competição. (b) Que hipótese você fez para resolver essa questão? Essa hipótese é razoável?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há três competidores: Alberto, Bosco e Carlos.
  • O enunciado diz que Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade de ganhar e que essa probabilidade é o dobro da de Carlos ganhar. Peguei essas informações do enunciado.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Calcular a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competição.
    (b) Indicar qual hipótese foi feita para resolver a questão e dizer se essa hipótese é razoável.

Passo 2

Vou traduzir a informação dada em incógnitas matemáticas (isso ajuda a organizar a ideia).
  • Defino \,p_A como a probabilidade de Alberto ganhar, \,p_B como a probabilidade de Bosco ganhar e \,p_C como a probabilidade de Carlos ganhar.
  • A frase “Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade” vira a igualdade p_A = p_B.
  • A frase “essa probabilidade é o dobro da de Carlos” significa p_A = 2\,p_C \quad\text{e}\quad p_B = 2\,p_C.

Passo 3

Agora uso o fato fundamental de probabilidade para as possibilidades de quem vence: exatamente um dos três vence, então as probabilidades somam 1. Explico por que: os eventos “Alberto vence”, “Bosco vence” e “Carlos vence” são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer dois ao mesmo tempo) e exaustivos (um deles necessariamente ocorre), logo
p_A + p_B + p_C = 1.
Substituo as relações que estabeleci:
2p_C + 2p_C + p_C = 1.
Isso dá
5p_C = 1.

Passo 4

Resolvendo a equação para \,p_C:
p_C = \frac{1}{5}.
Em seguida encontro \,p_A e \,p_B usando \,p_A=2p_C:
p_A = p_B = 2\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{5}.

Passo 5

Para responder (a) quero a probabilidade de “Bosco ou Carlos” vencer. Como os eventos “Bosco vence” e “Carlos vence” são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades:
P(\text{Bosco ou Carlos}) = p_B + p_C.
Substituindo os valores:
P(\text{Bosco ou Carlos}) = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.

Passo 6

Interpretação numérica e formas equivalentes:
\frac{3}{5}=0{,}6=60\%.
Então a probabilidade pedida em (a) é \frac{3}{5}, ou 60\%.

Passo 7

Respondendo (b) — qual hipótese foi feita e se é razoável:
  • Hipótese feita: supus que os únicos resultados possíveis são os três (Alberto, Bosco ou Carlos vencendo), que as probabilidades são fixas e relacionadas exatamente por \,p_A=p_B=2p_C, e que não há empates nem outros fatores que mudem as probabilidades no momento da competição. Em termos práticos, usei as regras básicas da probabilidade: soma das probabilidades de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos é 1, e a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é a soma.
  • Se é razoável: para resolver um exercício de probabilidade com os dados fornecidos, sim — é totalmente razoável e é exatamente o que o enunciado pede que se assuma. Na prática (num campeonato real) pode haver variações de desempenho, pequenas chances de empate, ou fatores externos, então a suposição de probabilidades fixas e exatamente proporcionais é uma idealização; mas isso não invalida a resolução do problema proposto.

Resposta

(a) \dfrac{3}{5} (ou 60\%).
(b) Hipótese: que os únicos resultados possíveis são os três e que as probabilidades são fixas e satisfazem p_A=p_B=2p_C; essa hipótese é adequada/razoável para resolver o exercício (embora seja uma idealização da situação real).

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