Em um campeonato de natação, estão competindo três estudantes: Alberto, Bosco e Carlos. Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade de ganhar, que é o dobro da de Carlos ganhar.
(a) Ache a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competição. (b) Que hipótese você fez para resolver essa questão? Essa hipótese é razoável?
(a) Ache a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competição. (b) Que hipótese você fez para resolver essa questão? Essa hipótese é razoável?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há três competidores: Alberto, Bosco e Carlos.
- O enunciado diz que Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade de ganhar e que essa probabilidade é o dobro da de Carlos ganhar. Peguei essas informações do enunciado.
- Perguntas do enunciado:
(a) Calcular a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competição.
(b) Indicar qual hipótese foi feita para resolver a questão e dizer se essa hipótese é razoável.
Passo 2
Vou traduzir a informação dada em incógnitas matemáticas (isso ajuda a organizar a ideia).
- Defino
como a probabilidade de Alberto ganhar, como a probabilidade de Bosco ganhar e como a probabilidade de Carlos ganhar. - A frase “Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade” vira a igualdade
- A frase “essa probabilidade é o dobro da de Carlos” significa
Passo 3
Agora uso o fato fundamental de probabilidade para as possibilidades de quem vence: exatamente um dos três vence, então as probabilidades somam 1. Explico por que: os eventos “Alberto vence”, “Bosco vence” e “Carlos vence” são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer dois ao mesmo tempo) e exaustivos (um deles necessariamente ocorre), logo
Substituo as relações que estabeleci:
Isso dá
Passo 4
Resolvendo a equação para
:
Em seguida encontro
e
usando
:
Passo 5
Para responder (a) quero a probabilidade de “Bosco ou Carlos” vencer. Como os eventos “Bosco vence” e “Carlos vence” são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades:
Substituindo os valores:
Passo 6
Interpretação numérica e formas equivalentes:
Então a probabilidade pedida em (a) é
, ou
.
Passo 7
Respondendo (b) — qual hipótese foi feita e se é razoável:
- Hipótese feita: supus que os únicos resultados possíveis são os três (Alberto, Bosco ou Carlos vencendo), que as probabilidades são fixas e relacionadas exatamente por
, e que não há empates nem outros fatores que mudem as probabilidades no momento da competição. Em termos práticos, usei as regras básicas da probabilidade: soma das probabilidades de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos é , e a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é a soma. - Se é razoável: para resolver um exercício de probabilidade com os dados fornecidos, sim — é totalmente razoável e é exatamente o que o enunciado pede que se assuma. Na prática (num campeonato real) pode haver variações de desempenho, pequenas chances de empate, ou fatores externos, então a suposição de probabilidades fixas e exatamente proporcionais é uma idealização; mas isso não invalida a resolução do problema proposto.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) Hipótese: que os únicos resultados possíveis são os três e que as probabilidades são fixas e satisfazem ; essa hipótese é adequada/razoável para resolver o exercício (embora seja uma idealização da situação real).
(b) Hipótese: que os únicos resultados possíveis são os três e que as probabilidades são fixas e satisfazem