Sejam
e
funções.
Prove que
.
Prove que
Passo 1
Beleza, olha o que o enunciado tá pedindo: temos duas funções
-
-
E a gente quer provar que
Então o conteúdo é Teoria de Conjuntos (imagem de função) e composições. Vamos precisar saber a definição de “imagem” de uma função e como escrever “subconjunto” direitinho.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar a definição de imagem.
- A imagem de
é - A imagem de
é
E “mostrar que
” significa: “pegar um elemento qualquer que esteja em
e provar que ele também está em
”.
Passo 3
Vamo lá, escolhe um elemento qualquer
. Pela definição isso quer dizer que existe um
tal que
Mas por definição de composição,
. Então
Agora repara:
é um elemento de
. Se eu chamasse
, teria
e
Isso exatamente diz que existe um
com
, ou seja
.
Como escolhemos
arbitrário em
e chegamos em
, acabamos de provar