Sejam f: A B e g: B C funções.
Prove que Im(g circ f) subset Im(g).

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado tá pedindo: temos duas funções
  • Im(gcirc f)subset Im(g)

  • E a gente quer provar que
Então o conteúdo é Teoria de Conjuntos (imagem de função) e composições. Vamos precisar saber a definição de “imagem” de uma função e como escrever “subconjunto” direitinho.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar a definição de imagem.
  • A imagem de Im(gcirc f) = ,cin C : exists ain A,;(gcirc f)(a)=c é Im(g) = ,cin C : exists bin B,;g(b)=c
  • A imagem de é
E “mostrar que ” significa: “pegar um elemento qualquer que esteja em e provar que ele também está em ”.

Passo 3

Vamo lá, escolhe um elemento qualquer y = (gcirc f)(a) . Pela definição isso quer dizer que existe um y = gl(f(a)r) tal que
y = g(b)
Mas por definição de composição, Im(gcirc f)subset Im(g) . Então
Agora repara: é um elemento de . Se eu chamasse , teria e
Isso exatamente diz que existe um com , ou seja .
Como escolhemos arbitrário em e chegamos em , acabamos de provar

Resposta

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