Sejam f: A B e g: B C funções.
Verdadeiro ou falso: se f e g são injetoras, então g circ f é injetora.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz: “Sejam
f: A to B
e
g: B to C
funções. Verdadeiro ou falso: se e são injetoras, então é injetora.”
Conteúdo: teoria de funções (injeção e composição). Vamos precisar da definição de injetora e da regra de como funciona composição de funções.

Passo 2

Definição de injetora (passo a passo):
Uma função h(x1)=h(x2);Longrightarrow;x1=x2 é injetora se, sempre que , isso nos força a concluir que .
Em símbolos:

Passo 3

Definição de composição:
Se (gcirc f)(x)=gl(f(x)r) e , então a composição é a função de em dada por

Passo 4

Prova de que (gcirc f)(x1) ;=;(gcirc f)(x2) é injetora (supondo gl(f(x1)r) ;=; gl(f(x2)r) e f(x1) ;=; f(x2) injetoras):
  1. Pegamos dois elementos quaisquer x1 ;=; x2 e assumimos que
  1. Usando a definição de composição, isso vira
  1. Como é injetora, de segue que
  1. Agora, usando que também é injetora, de concluímos
  1. Pronto: mostramos que sempre que , a gente chega em . Isso é exatamente a definição de injetora para .

Resposta

Verdadeiro.

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