Sejam
e
funções.
Verdadeiro ou falso: se
e
são injetoras, então
é injetora.
Verdadeiro ou falso: se
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz: “Sejam
e
funções. Verdadeiro ou falso: se
e
são injetoras, então
é injetora.”
Conteúdo: teoria de funções (injeção e composição). Vamos precisar da definição de injetora e da regra de como funciona composição de funções.
Conteúdo: teoria de funções (injeção e composição). Vamos precisar da definição de injetora e da regra de como funciona composição de funções.
Passo 2
Definição de injetora (passo a passo):
Uma função é injetora se, sempre que
, isso nos força a concluir que
.
Em símbolos:
Uma função
Em símbolos:
Passo 3
Definição de composição:
Se e
, então a composição
é a função de
em
dada por
Se
Passo 4
Prova de que
é injetora (supondo
e
injetoras):
- Pegamos dois elementos quaisquer
e assumimos que
- Usando a definição de composição, isso vira
- Como
é injetora, de segue que
- Agora, usando que
também é injetora, de concluímos
- Pronto: mostramos que sempre que
, a gente chega em . Isso é exatamente a definição de injetora para .
Resposta
Verdadeiro.