Sejam f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} funções limitadas e integráveis. Prove que
\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x\right)^{2} \leq\left(\int_{a}^{b} f(x)^{2} d x\right)\left(\int_{a}^{b} g(x)^{2} d x\right)

Passo 1

Resumindo: temos duas funções limitadas e integráveis f,g:[a,b]\to\mathbb{R} e queremos provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para integrais, ou seja,
\Bigl(\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx\Bigr)^{2}\;\le\;\Bigl(\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\Bigr).
Para isso, vamos usar que o quadrado de uma função integrável é ainda integrável e que sua integral é não‐negativa.

Passo 2

Definimos, para todo real \lambda, a função
h_{\lambda}(x)=f(x)-\lambda\,g(x).
Como f e g são integráveis, h_{\lambda} também é integrável, e portanto h_{\lambda}(x)^{2} é integrável. Observamos que
h_{\lambda}(x)^{2}\;\ge\;0 \quad\forall x\in[a,b]
implica
\int_{a}^{b}h_{\lambda}(x)^{2}\,dx\;\ge\;0.

Passo 3

Expandindo a integral de h_{\lambda}(x)^{2}, usando linearidade, temos
\int_{a}^{b}h_{\lambda}(x)^{2}\,dx =\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-\lambda g(x)\bigr)^{2}dx =\int_{a}^{b}f(x)^{2}dx -2\lambda\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx +\lambda^{2}\int_{a}^{b}g(x)^{2}dx.
Denotando
A=\int_{a}^{b}f(x)^{2}dx, \quad B=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx, \quad C=\int_{a}^{b}g(x)^{2}dx,
ficamos com a forma quadrática
I(\lambda)=A-2\lambda B+\lambda^{2}C\;\ge\;0 \quad\forall\lambda\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para que o polinômio I(\lambda)=C\lambda^{2}-2B\lambda +A seja não‐negativo para todo \lambda, é necessário que seu discriminante seja não‐positivo:
\Delta =(-2B)^{2}-4\cdot C\cdot A =4B^{2}-4AC \;\le\;0.
Logo,
4B^{2}\le 4AC \quad\Longrightarrow\quad B^{2}\le A\,C.

Passo 5

Voltando aos definidores A,B,C, isso diz exatamente
\Bigl(\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx\Bigr)^{2} \;\le\; \Bigl(\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\Bigr) \;\Bigl(\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\Bigr),
que é o enunciado desejado.

Resposta

\Bigl(\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx\Bigr)^{2} \;\le\; \Bigl(\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\Bigr) \;\Bigl(\int_{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\Bigr).

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