Sejam
funções limitadas e integráveis. Prove que
Passo 1
Resumindo: temos duas funções limitadas e integráveis
e queremos provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para integrais, ou seja,
Para isso, vamos usar que o quadrado de uma função integrável é ainda integrável e que sua integral é não‐negativa.
Passo 2
Definimos, para todo real
, a função
Como
e
são integráveis,
também é integrável, e portanto
é integrável. Observamos que
implica
Passo 3
Expandindo a integral de
, usando linearidade, temos
Denotando
ficamos com a forma quadrática
Passo 4
Para que o polinômio
seja não‐negativo para todo
, é necessário que seu discriminante seja não‐positivo:
Logo,
Passo 5
Voltando aos definidores
, isso diz exatamente
que é o enunciado desejado.