Sejam F e G operadores lineares em \mathbb{R}^{2} definidos por F(x, y)=(x, y) e G(x, y)=(0, y). Determine
F+G

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares em \mathbb{R}^2:
F(x,y)=(x,y)
G(x,y)=(0,y)
A pergunta é: determinar F+G (ou seja, o operador que resulta da soma de F e G). Aqui estão as informações relevantes: as fórmulas explícitas de F e G para um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2. Nada mais é pedido além de escrever a ação do operador F+G sobre um vetor arbitrário.

Passo 2

Definição importante (explicadinha): a soma de dois operadores lineares F e G é outro operador linear F+G definido por
(F+G)(v)=F(v)+G(v)
para todo vetor v no espaço. Aqui F(v) e G(v) são vetores em \mathbb{R}^2 e a soma é a soma usual de vetores em \mathbb{R}^2. Lembrete rápido da soma de vetores em \mathbb{R}^2: se (a,b) e (c,d) são vetores, então
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d).

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao vetor genérico (x,y). Primeiro escrevo F(x,y) e G(x,y) (já dados pelo enunciado):
F(x,y)=(x,y)
G(x,y)=(0,y)
Agora uso a regra da soma de operadores:
(F+G)(x,y)=F(x,y)+G(x,y).

Passo 4

Faço a soma componente a componente usando a regra da soma de vetores:
(F+G)(x,y)=(x,y)+(0,y)=(x+0,\;y+y)=(x,\;2y).
Então o operador F+G envia um vetor (x,y) para (x,2y).

Passo 5

Verificação via matrizes (útil como checagem rápida): a matriz de F na base canônica é
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
a matriz de G é
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
e somando as matrizes obtemos
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},
que corresponde exatamente ao operador que envia (x,y) em (x,2y). Beleza — está consistente.]

Resposta

(F+G)(x,y)=(x,2y)

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