Sejam
e
operadores lineares em
definidos por
e
. Determine
Passo 1
O enunciado dá dois operadores lineares em
:
A pergunta é: determinar
(ou seja, o operador que resulta da soma de
e
). Aqui estão as informações relevantes: as fórmulas explícitas de
e
para um vetor genérico
. Nada mais é pedido além de escrever a ação do operador
sobre um vetor arbitrário.
Passo 2
Definição importante (explicadinha): a soma de dois operadores lineares
e
é outro operador linear
definido por
para todo vetor
no espaço. Aqui
e
são vetores em
e a soma é a soma usual de vetores em
. Lembrete rápido da soma de vetores em
: se
e
são vetores, então
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao vetor genérico
. Primeiro escrevo
e
(já dados pelo enunciado):
Agora uso a regra da soma de operadores:
Passo 4
Faço a soma componente a componente usando a regra da soma de vetores:
Então o operador
envia um vetor
para
.
Passo 5
Verificação via matrizes (útil como checagem rápida): a matriz de
na base canônica é
a matriz de
é
e somando as matrizes obtemos
que corresponde exatamente ao operador que envia
em
. Beleza — está consistente.]