Determine o núcleo (Kernel) e a dimensão do núcleo de cada transformação
T(x, y)=(3 x-2 y, 5 x-2 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(3x-2y,\;5x-2y).
Pede-se:
  1. o núcleo (kernel) de T, ou seja, o conjunto de vetores (x,y) que vão para o vetor nulo; 2) a dimensão desse núcleo.
    Informações relevantes: a regra explícita de T está acima e queremos todos os (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que T(x,y)=(0,0).

Passo 2

Definição e estratégia: o núcleo de T é
\ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0)\}.
Para encontrar \ker(T) montamos o sistema linear obtido igualando as duas componentes a zero e resolvemos para x e y.

Passo 3

Formulando o sistema a partir de T(x,y)=(0,0)\): \[\begin{cases} 3x-2y=0,\\[4pt] 5x-2y=0. \end{cases}
Esse é um sistema de duas equações lineares nas incógnitas x\] e \(y.]

Passo 4

Vamos resolver o sistema subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar y. Subtraindo termo a termo:
(5x-2y) - (3x-2y) = 0 - 0.
No lado esquerdo o -2y cancela, ficando
5x-3x = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x = 0.
Portanto
x = 0.

Passo 5

Substituímos x=0 em uma das equações, por exemplo em 3x-2y=0:
3\cdot 0 - 2y = 0 \quad\Rightarrow\quad -2y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Logo a única solução do sistema é (x,y)=(0,0).

Passo 6

Conclusão sobre o núcleo: como a única solução é o vetor nulo, temos
\ker(T)=\{(0,0)\}.
Comentário didático: o subespaço formado somente pelo vetor nulo é chamado de subespaço trivial. Uma maneira alternativa (mais rápida em provas) é notar que a matriz associada
A=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 5 & -2\end{pmatrix}
tem determinante \det(A)=3(-2)-5(-2)=-6+10=4\neq 0, logo A é inversível e sua transformação linear tem núcleo trivial.]

Passo 7

Dimensão do núcleo: o subespaço \{(0,0)\} tem dimensão igual a 0. Explicando: uma base de \ker(T) é o conjunto vazio \varnothing (não há nenhum vetor não-nulo no núcleo), e o número de vetores da base é a dimensão; assim \dim(\ker(T))=0. Pela fórmula do posto-nulidade (caso queira usar): \dim(\ker(T))=2-\operatorname{rank}(A)=2-2=0, pois \operatorname{rank}(A)=2 quando \det(A)\neq 0.

Resposta

\ker(T)=\{(0,0)\}
\dim(\ker(T))=0

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