Determine o núcleo (Kernel) e a dimensão do núcleo de cada transformação
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Pede-se:
- o núcleo (kernel) de
, ou seja, o conjunto de vetores que vão para o vetor nulo; 2) a dimensão desse núcleo.
Informações relevantes: a regra explícita deestá acima e queremos todos os tais que .
Passo 2
Definição e estratégia: o núcleo de
é
Para encontrar
montamos o sistema linear obtido igualando as duas componentes a zero e resolvemos para
e
.
Passo 3
Formulando o sistema a partir de
Esse é um sistema de duas equações lineares nas incógnitas
.]
Passo 4
Vamos resolver o sistema subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
. Subtraindo termo a termo:
No lado esquerdo o
cancela, ficando
Portanto
Passo 5
Substituímos
em uma das equações, por exemplo em
:
Logo a única solução do sistema é
.
Passo 6
Conclusão sobre o núcleo: como a única solução é o vetor nulo, temos
Comentário didático: o subespaço formado somente pelo vetor nulo é chamado de subespaço trivial. Uma maneira alternativa (mais rápida em provas) é notar que a matriz associada
tem determinante
, logo
é inversível e sua transformação linear tem núcleo trivial.]
Passo 7
Dimensão do núcleo: o subespaço
tem dimensão igual a
. Explicando: uma base de
é o conjunto vazio
(não há nenhum vetor não-nulo no núcleo), e o número de vetores da base é a dimensão; assim
. Pela fórmula do posto-nulidade (caso queira usar):
, pois
quando
.