Sejam F: R^{2} \rightarrow R e G: R \rightarrow R as transformações lineares definidas por F(x, y)=x+2 y e \mathrm{G}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}. Determinar a transformação G o F . Verificar se a composta F o G está definida.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares e pede duas coisas claras:
  • Determinar a composta G\circ F.
  • Verificar se a composta F\circ G está definida.
Informações fornecidas:
  • F: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por F(x,y)=x+2y.
  • G: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por G(x)=2x.

Passo 2

Regra de composição (explicação didática): se há duas aplicações A: U\to V e B: V\to W, então a composta B\circ A está bem definida e é uma função de U em W dada por
(B\circ A)(u)=B\big(A(u)\big).
Importante: para que B\circ A exista é preciso que a imagem/contra-domínio de A seja compatível com o domínio de B (resumindo: o conjunto onde A “entrega” deve ser um conjunto que B aceita como entrada).

Passo 3

Aplicando a regra ao caso G\circ F. Aqui F tem domínio \mathbb{R}^2 e imagem em \mathbb{R}; G tem domínio \mathbb{R}. Como a imagem de F está em \mathbb{R}, que é exatamente o domínio de G, a composição G\circ F está definida e seu domínio será \mathbb{R}^2. Calculamos ponto a ponto:
(G\circ F)(x,y)=G\big(F(x,y)\big).
Substituindo F(x,y)=x+2y e G(t)=2t (aqui escrevendo t para a entrada genérica de G):
(G\circ F)(x,y)=G(x+2y)=2\big(x+2y\big).
Fazendo a distribuição do 2:
(G\circ F)(x,y)=2x+4y.

Passo 4

Interpretação matricial (ajuda visual e prática para prova): a transformação F é um funcional linear que pode ser representado pela matriz linha \big[\,1\\ \\\ 2\,\big] (matriz 1\times2) porque
F(x,y)=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=1\cdot x+2\cdot y.
A transformação G é multiplicação por 2, ou seja, um escalar 2 (ou a matriz 1\times1 [2]). A composição G\circ F corresponde a multiplicar o resultado de F por 2, o que equivale a multiplicar a matriz linha de F pelo escalar 2:
\big[\,2\big]\cdot\big[\,1\\ \\\ 2\,\big]=\big[\,2\\ \\\ 4\,\big],
o que representa a forma linear 2x+4y. Isso confirma o cálculo anterior.]

Passo 5

Verificação se F\circ G está definida: para F\circ G existir seria preciso formar F\big(G(t)\big) para t\in\mathbb{R}. Mas:
  • G(t) é um número real (elemento de \mathbb{R}).
  • F espera uma entrada em \mathbb{R}^2, ou seja, um par (x,y).
Portanto, não há forma direta de alimentar F com a saída de G porque a saída de G é um escalar e F requer um par de coordenadas. Em termos de domínios/codomínios: o codomínio de G é \mathbb{R}, mas o domínio de F é \mathbb{R}^2; não vale que \mathbb{R}\subseteq\mathbb{R}^2. Sem uma aplicação adicional que transforme um real em um par (por exemplo uma inclusão \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 explicitamente dada), a composição F\circ G não está definida.

Passo 6

Resumo prático para a prova:
  • Ao compor, sempre cheque primeiro se o domínio e codomínio batem; isso decide se a composição é permitida.
  • Se batem, substitua a saída da primeira na segunda e simplifique normalmente.
  • Aqui G\circ F está definida e deu 2x+4y. Já F\circ G não está definida por incompatibilidade de domínios.

Resposta

(G\circ F)(x,y)=2x+4y
F\circ G não está definida.

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