Sejam
e
as transformações lineares definidas por
e
. Determinar a transformação G o F . Verificar se a composta F o G está definida.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares e pede duas coisas claras:
- Determinar a composta
. - Verificar se a composta
está definida.
Informações fornecidas:
-
definida por . -
definida por .
Passo 2
Regra de composição (explicação didática): se há duas aplicações
e
, então a composta
está bem definida e é uma função de
em
dada por
Importante: para que
exista é preciso que a imagem/contra-domínio de
seja compatível com o domínio de
(resumindo: o conjunto onde
“entrega” deve ser um conjunto que
aceita como entrada).
Passo 3
Aplicando a regra ao caso
. Aqui
tem domínio
e imagem em
;
tem domínio
. Como a imagem de
está em
, que é exatamente o domínio de
, a composição
está definida e seu domínio será
. Calculamos ponto a ponto:
Substituindo
e
(aqui escrevendo
para a entrada genérica de
):
Fazendo a distribuição do
:
Passo 4
Interpretação matricial (ajuda visual e prática para prova): a transformação
é um funcional linear que pode ser representado pela matriz linha
(matriz
) porque
A transformação
é multiplicação por
, ou seja, um escalar
(ou a matriz
). A composição
corresponde a multiplicar o resultado de
por
, o que equivale a multiplicar a matriz linha de
pelo escalar
:
o que representa a forma linear
. Isso confirma o cálculo anterior.]
Passo 5
Verificação se
está definida: para
existir seria preciso formar
para
. Mas:
-
é um número real (elemento de ). -
espera uma entrada em , ou seja, um par .
Portanto, não há forma direta de alimentar
com a saída de
porque a saída de
é um escalar e
requer um par de coordenadas. Em termos de domínios/codomínios: o codomínio de
é
, mas o domínio de
é
; não vale que
. Sem uma aplicação adicional que transforme um real em um par (por exemplo uma inclusão
explicitamente dada), a composição
não está definida.
Passo 6
Resumo prático para a prova:
- Ao compor, sempre cheque primeiro se o domínio e codomínio batem; isso decide se a composição é permitida.
- Se batem, substitua a saída da primeira na segunda e simplifique normalmente.
- Aqui
está definida e deu . Já não está definida por incompatibilidade de domínios.