Para cada uma das seguintes transformações lineares F , encontre uma base e a dimensão de: \mathrm{F}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{3} definida por \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}, \mathrm{y}-\mathrm{z}, \mathrm{x}+2 \mathrm{z})
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
F(x,y,z)=(x+2y,\;y-z,\;x+2z).
As perguntas (inferidas do enunciado padrão) são:
Encontrar uma base de \mathrm{Im}(F) e a sua dimensão \dim(\mathrm{Im}(F)).
Encontrar uma base de \ker(F) e a sua dimensão \dim(\ker(F)).
Informações relevantes fornecidas:
A regra de F dada por coordenadas lineares em x,y,z.
O domínio é \mathbb{R}^3 (dimensão 3), portanto vale a relação de dimensão (teorema posto-nulo) \dim(\mathbb{R}^3)=\dim(\mathrm{Im}(F))+\dim(\ker(F)).
Passo 2
Obter a matriz de F na base canônica e os vetores-imagem das bases canônicas (passo prático útil para achar imagem/colunas).
Aplicando F aos vetores canônicos:
Explicação didática: cada coluna da matriz é F(e_i), porque a aplicação linear é determinada pelas imagens dos vetores de uma base. A imagem de F (o subespaço alcançado) é o subespaço gerado pelas colunas de A.]
Passo 3
Determinar \mathrm{Im}(F)\) e sua dimensão analisando as colunas de \(A\).
Definimos as colunas:
\[c_1=(1,0,1),\quad c_2=(2,1,0),\quad c_3=(0,-1,2).
A imagem é \mathrm{Im}(F)=\mathrm{span}\{c_1,c_2,c_3\}. Para achar a dimensão (posto), verificamos dependência linear entre as colunas: procuramos escalares a,b,c tais que
Conclusão: as três colunas são linearmente dependentes, mas existem duas colunas linearmente independentes. Logo \dim(\mathrm{Im}(F))=2.
Uma base conveniente para \mathrm{Im}(F) é dada por duas colunas linearmente independentes, por exemplo \{c_1,c_2\}=\{(1,0,1),(2,1,0)\}. (Qualquer outro par linearmente independente de colunas serve como base.)]
Passo 4
Determinar \ker(F)\) resolvendo \(F(x,y,z)=0\).
Escrevemos o sistema homogêneo correspondente:
\[\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] y-z=0,\\[4pt] x+2z=0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=z\]. Substituindo na primeira: \(x+2y=0\Rightarrow x=-2y. Verificamos a terceira: x+2z=-2y+2y=0, portanto é satisfeita automaticamente. Assim os vetores do núcleo têm a forma
Portanto \ker(F)=\mathrm{span}\{(-2,1,1)\} e \dim(\ker(F))=1.
Explicação didática: para achar o núcleo, resolve-se F(v)=0. O espaço solução é um subespaço, aqui de uma dimensão porque resta um parâmetro livre t. A base do núcleo é um vetor que gera todas as soluções.]