Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z funções. Mostre que
Se f e g são injetoras, então g \circ f é injetora.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções
f\colon X \to Y
e
g\colon Y \to Z
ambas injetoras, e pede para mostrar que a composição
g \circ f\colon X \to Z
também é injetora. O conteúdo é definição de injeção e como usá-la em composições.

Passo 2

Relembrando: uma função
h\colon A \to B
é injetora se, sempre que
h(x_1) = h(x_2),
concluímos
x_1 = x_2.
Para provar que g\circ f é injetora, vamos mostrar exatamente essa propriedade.

Passo 3

Sejam x_1,x_2 \in X tais que
(g\circ f)(x_1) = (g\circ f)(x_2).

Passo 4

Pela definição de composição,
g\bigl(f(x_1)\bigr) = g\bigl(f(x_2)\bigr).
Como g é injetora, disso segue
f(x_1) = f(x_2).

Passo 5

Como f também é injetora, a igualdade
f(x_1) = f(x_2)
implica
x_1 = x_2.

Passo 6

Portanto, sempre que (g\circ f)(x_1) = (g\circ f)(x_2) obtemos x_1 = x_2. Isso mostra que g\circ f satisfaz a definição de injeção.

Resposta

A composição g\circ f é injetora.

Exercícios relacionados