Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z funções. Mostre que
Se f e g são sobrejetoras, então g \circ f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá duas funções \displaystyle f: X \to Y e \displaystyle g: Y \to Z
e informa que ambas são sobrejetoras. Queremos mostrar que a composição \displaystyle g \circ f: X \to Z
também é sobrejetora. Lembrando que “sobrejetora” significa que todo elemento do contradomínio tem pelo menos uma pré-imagem no domínio.

Passo 2

Para provar que \displaystyle g\circ f é sobrejetora, tomamos um elemento arbitrário \displaystyle z\in Z.
Como g é sobrejetora, existe um y\in Y tal que
g(y)=z.
Como f é sobrejetora, existe um x\in X tal que
f(x)=y.
Logo,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g(y)=z.
Isso mostra que, para cada z\in Z, encontramos x\in X com (g\circ f)(x)=z, ou seja, g\circ f é sobrejetora.

Resposta

Concluímos que, se f e g são sobrejetoras, então g\circ f também é sobrejetora.

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