Exercício 7) Determinar os pontos críticos das funções dadas e verificar quais são de máximo e quais são de mínimo nos casos:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas: (i) determinar os pontos críticos de
e (ii) verificar quais desses pontos são pontos de máximo ou de mínimo.
Informações relevantes dadas: a função explícita vale
para todo
. Nada mais foi fornecido.
Informações relevantes dadas: a função explícita
Passo 2
Como se acha pontos críticos de uma função de duas variáveis: regras e aplicação inicial.
Regra: pontos críticos são os pontos onde o gradiente é o vetor nulo, isto é onde as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente. O gradiente é definido por
Regra: pontos críticos são os pontos onde o gradiente é o vetor nulo, isto é onde as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente. O gradiente é definido por
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Para isso uso a regra da cadeia: a função é uma exponencial com argumento
. A derivada de
em relação a uma variável é
.
Calculemos
:
Aqui
(porque
é tratado como constante ao derivar em relação a
). Logo
Analogamente, calculamos
:
Agora impomos que ambas se anulem para achar os pontos críticos:
Observação importante:
para todo
(a exponencial nunca é zero). Assim as equações acima reduzem-se a
ou seja
Conclusão parcial: existe exatamente um ponto crítico, que é
.
Passo 3
Agora vamos classificar o tipo desse ponto crítico usando as derivadas segundas (teste da segunda derivada para funções de duas variáveis). Primeiro definimos e calculamos as derivadas segundas (a matriz Hessiana).
Definição breve: a matriz Hessiana
tem entradas as derivadas segundas
onde
,
, etc. Para duas variáveis o teste clássico usa o determinante
Regras de conclusão:
- Se
e então ponto de mínimo (local). - Se
e então ponto de máximo (local). - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Vamos calcular
. Use a regra do produto para
:
Calcule
:
Aplicando produto e cadeia:
Calcule
(simétrico ao caso anterior trocando
por
):
Calcule
(derive
em relação a
):
Note que
, como esperado (derivadas mistas contínuas).]
Passo 4
Avaliação das derivadas segundas no ponto crítico
. Primeiro observe que o argumento do exponencial em
é
, portanto
.
Substituindo
:
Calcule o discriminante
:
Como
tem-se
. Além disso
. Pelo teste:
e
implica que
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Interpretação adicional (global) e comentário didático sobre o resultado. A função é
Como
para todo
, o menor valor que
pode assumir é
(quando
). E como a exponencial é crescente,
com igualdade exatamente em
. Portanto o mínimo encontrado no teste é na verdade um mínimo global, com valor mínimo
. Por outro lado, quando
(isto é,
ou
cresce), tem-se
; assim não existe máximo global (a função cresce sem limite).
Dica prática para provas: quando a função é
com exponencial estritamente positiva e monotônica, os pontos críticos coincidem com os pontos críticos de
(porque o fator
nunca zera). Aqui
tem claramente único mínimo em
.
Resposta
Ponto crítico:
— mínimo (local e global), valor mínimo
.
Não há ponto de máximo (a função tende a quando
).
Não há ponto de máximo (a função tende a