Sejam 
  e 
  funções bijetoras. Prove que existe uma função bijetora 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos duas funções que são bijetoras, 
  e 
 , então conseguimos criar uma nova função que também é bijetora entre os produtos 
  e 
 . O conteúdo aqui envolve funções bijetoras e produtos cartesianas. Para resolver, vamos usar as propriedades de funções injetoras e sobrejetoras que definem uma bijeção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio se mapeia para um elemento único no contradomínio, ou seja, não tem dois elementos diferentes do domínio que apontam para o mesmo elemento no contradomínio. Ela é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Se uma função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.
Passo 3
Agora, queremos construir uma função 
  que seja bijetora. A ideia é combinar as funções 
  e 
  para criar 
 . Vamos definir 
  assim:
Isso significa que 
  pega um par 
  de 
  e mapeia para um par 
  em 
 .
Passo 4
Vamos mostrar que 
  é injetora. Suponha que 
 . Então:
Isso implica que:
Como 
  e 
  são bijetoras (e, portanto, injetoras), temos:
Logo, 
 , provando que 
  é injetora.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que 
  é sobrejetora. PEGUE qualquer par 
  em 
 . Como 
  e 
  são sobrejetoras, existem 
  e 
  tais que:
Portanto,
Isso mostra que todo elemento de 
  é atingido por algum elemento de 
  através de 
 , ou seja, 
  é sobrejetora.
Resposta
Assim, a função 
  definida por 
  é bijetora. Portanto, existe uma função bijetora entre 
  e 
 .