Sejam as funções f: R \rightarrow R tal que f(x)=2 x+3 e g: R \rightarrow R tal que g(x)=\sqrt[3]{x-1}. Determinar a função g^{-1} \circ f^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \,g^{-1}\circ f^{-1}, onde f\colon\mathbb R\to\mathbb R é dada por
f(x)=2x+3
e g\colon\mathbb R\to\mathbb R é dada por
g(x)=\sqrt[3]{\,x-1\,}.
O conteúdo que vamos usar é o de funções inversas: primeiro achamos f^{-1}, depois g^{-1} e, por fim, compomos.

Passo 2

Para encontrar f^{-1}, começamos com
y = 2x + 3
e resolvemos para x. Subtraindo 3 e dividindo por 2, obtemos
x = \frac{y-3}{2}.
Logo, em notação de função inversa:
f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}.

Passo 3

Para encontrar g^{-1}, partimos de y = \sqrt[3]{\,x-1\,} que equivale a
y^3 = x - 1.
Isolando x, temos
x = y^3 + 1.
Dessa forma:
g^{-1}(x) = x^3 + 1.

Passo 4

Agora compondo g^{-1} com f^{-1}, substituímos f^{-1}(x) em g^{-1}. Assim,
(g^{-1}\circ f^{-1})(x) = g^{-1}\!\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = g^{-1}\!\Bigl(\frac{x-3}{2}\Bigr) = \Bigl(\frac{x-3}{2}\Bigr)^3 + 1.

Resposta

(g^{-1}\circ f^{-1})(x) = \Bigl(\frac{x-3}{2}\Bigr)^3 + 1.

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