Ou seja, a pergunta é: qual é o valor (em número real) de \displaystyle \lim_{x\to \pi/2}\frac{\arcsin x}{-m(x)}?
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do denominador usando a definição dada de m. Como
m(x)=-x^{2},
temos
-m(x) = -\bigl(-x^{2}\bigr)=x^{2}.
Portanto o limite pedido se torna
\lim_{x\to \pi/2}\frac{\arcsin x}{x^{2}}.
Passo 3
Antes de tentar técnicas de cálculo de limites, é crucial verificar o domínio das funções envolvidas. A função \arcsin (arco-seno, inversa do seno restrita) tem domínio real
\{x\in\mathbb{R}\mid -1\le x\le 1\},
ou seja, \arcsin x está definida como número real somente para x com |x|\le 1. Exemplos para fixar a ideia: \arcsin(0)=0 e \arcsin(1)=\pi/2.
Passo 4
Agora observe o ponto para o qual x tende: \displaystyle \frac{\pi}{2}. Numericamente \displaystyle \frac{\pi}{2}\approx 1{,}5708. Esse valor é maior do que 1. Logo
\frac{\pi}{2}\notin[-1,1].
Isso significa que o ponto de interesse \displaystyle \frac{\pi}{2} não pertence ao domínio real da função \arcsin x.
Passo 5
Para que exista o limite real \displaystyle \lim_{x\to a} \varphi(x) é necessário que a função \varphi esteja definida em valores x arbitrariamente próximos de a (em uma vizinhança pontuada de a). No nosso caso, qualquer x com |x|\le 1 satisfaz \arcsin x definido, mas todos esses x estão a uma distância mínima de
do ponto \pi/2. Ou seja, não existe uma sequência de números reais x_n com \arcsin x_n definido que convirja para \pi/2. Portanto não há como avaliar um limite real quando x\to\pi/2 porque a função \arcsin x não tem valores reais em qualquer vizinhança (mesmo pontuada) de \pi/2.
Passo 6
Conclusão lógica: como a função numerador \arcsin x não está definida em uma vizinhança real do ponto \pi/2, o limite real
\lim_{x\to \pi/2}\frac{\arcsin x}{x^{2}}
não existe (não está definido como número real). Se alguém quisesse trabalhar com valores complexos haveria outra teoria (continuação analítica), mas para limites reais, não há limite.
Resposta
Não existe (a função \arcsin x não é definida em uma vizinhança real de \pi/2).