Informações relevantes dadas no enunciado que usaremos:
A expressão do numerador é \,x-4.
A expressão do denominador é \,g(x)=x^{2}-4x+4.
O ponto de interesse é x\to 2.
Passo 2
Fatorar o polinômio do denominador para ver sua forma mais útil. Calcula-se:
g(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Explicação didática: reconhece-se que x^{2}-4x+4 é um quadrado perfeito porque 4=2^{2} e o termo do meio -4x corresponde a 2\cdot x\cdot(-2). Essa fatoração mostra explicitamente que o denominador é o quadrado de x-2.
Passo 3
Avaliar os limites das partes separadamente (propriedade de limites para soma/produto/polínios, que permite substituir o ponto em funções polinomiais):
\lim_{x\to 2}(x-4)=2-4=-2,
\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}(x-2)^{2}=0.
Interpretação: o numerador tende para uma constante não nula (-2) enquanto o denominador tende para zero.
Passo 4
Discutir o comportamento quando o denominador tende a zero e o numerador tende a constante não nula. Regra prática e intuitiva:
Se \lim_{x\to a} \text{numerador}=c com c\neq 0 e \lim_{x\to a}\text{denominador}=0, então a fração tende a infinito em módulo; o sinal do infinito é o produto do sinal de c pelo sinal do denominador próximo de a.
Aqui, pelo resultado da fatoração, para x\neq 2 próximo de 2 temos (x-2)^{2}>0. Ou seja, o denominador é sempre positivo (próximo de 2 e diferente de 2). Como o numerador tende a -2 (negativo), a razão tende a um valor negativo com módulo que cresce sem limite.
Passo 5
Fazer uma substituição curta para ver isso de forma clara. Seja t=x-2. Então t\to 0 quando x\to 2 e
\frac{x-4}{g(x)}=\frac{t-2}{t^{2}}.
Para t pequeno (tanto t>0 quanto t<0), o denominador t^{2} é positivo e tende a 0, enquanto o numerador t-2 tende a -2. Logo
\lim_{t\to 0}\frac{t-2}{t^{2}}=-\infty,
porque a fração é negativa e seu módulo cresce sem limite ao fazermos t^{2} cada vez menor.