Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2}[g(x)]^{\frac{1}{h^{2}(x)}}=

Passo 1

O enunciado dá as funções
g(x)=x^{2}-4x+4,\qquad h(x)=2-x
e pede o limite
\lim_{x\to 2}\bigl[g(x)\bigr]^{\frac{1}{h^{2}(x)}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • g(x)=x^{2}-4x+4.
  • h(x)=2-x.
  • O ponto onde vamos avaliar o limite é x\to 2.
  • É preciso calcular o limite da função composta \bigl[g(x)\bigr]^{1/h^{2}(x)}.

Passo 2

Simplificar as expressões g(x) e h^{2}(x) para ver a forma da potência:
g(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},
h(x)=2-x=-(x-2)\quad\Rightarrow\quad h^{2}(x)=(x-2)^{2}.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite obtemos
\bigl[g(x)\bigr]^{\frac{1}{h^{2}(x)}}=\bigl((x-2)^{2}\bigr)^{\frac{1}{(x-2)^{2}}}.
Ou seja, o limite é
\lim_{x\to 2}\bigl((x-2)^{2}\bigr)^{\frac{1}{(x-2)^{2}}}.

Passo 4

Para simplificar a notação, faça a mudança de variável
t=(x-2)^{2}.
Quando x\to 2 temos t\to 0^{+} (porque t é um quadrado não-negativo). Assim o limite passa a ser
\lim_{t\to 0^{+}} t^{\frac{1}{t}}.

Passo 5

Para lidar com limites do tipo t^{1/t} é conveniente usar logaritmo natural e as propriedades da exponencial. Defina
L=\lim_{t\to 0^{+}} t^{\frac{1}{t}}.
Se L>0, então podemos tomar logaritmo e obter
\ln L=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\ln t}{t}.
Agora precisamos calcular \lim_{t\to 0^{+}}\dfrac{\ln t}{t}.

Passo 6

Avaliar \displaystyle\lim_{t\to 0^{+}}\dfrac{\ln t}{t}. Use a substituição t=e^{-u} com u\to +\infty. Então
\ln t=\ln\bigl(e^{-u}\bigr)=-u,\qquad t=e^{-u},
e
\frac{\ln t}{t}=\frac{-u}{e^{-u}}=-u e^{u}.
Quando u\to +\infty temos -u e^{u}\to -\infty. Portanto
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\ln t}{t}=-\infty.

Passo 7

Como \ln L=\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}}\dfrac{\ln t}{t}=-\infty, concluímos que L= e^{-\infty}=0. Logo
\lim_{t\to 0^{+}} t^{\frac{1}{t}}=0.

Passo 8

Voltando à variável original x, o limite pedido é
\lim_{x\to 2}\bigl[g(x)\bigr]^{\frac{1}{h^{2}(x)}}=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados