Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{\sqrt[5]{-5-m(x)}-\sqrt[5]{4}}{-1-h(x)}\right)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 3}\left(\frac{\sqrt[5]{-5-m(x)}-\sqrt[5]{4}}{-1-h(x)}\right).
Das funções dadas, as que interessam aqui são
m(x)=-x^{2},\qquad h(x)=2-x.
As perguntas claras são:
  • Substituir m(x) e h(x) na expressão do limite;
  • Avaliar o limite quando x\to 3.

Passo 2

Primeiro substituo m(x) e h(x) na expressão e simplifico:
\sqrt[5]{-5-m(x)}=\sqrt[5]{-5-(-x^{2})}=\sqrt[5]{-5+x^{2}}=\sqrt[5]{x^{2}-5}.
E
-1-h(x)=-1-(2-x)=x-3.
Logo o limite vira
\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt[5]{x^{2}-5}-\sqrt[5]{4}}{x-3}.

Passo 3

Verifico a forma indeterminada: ao substituir x=3,
\sqrt[5]{3^{2}-5}-\sqrt[5]{4}=\sqrt[5]{9-5}-\sqrt[5]{4}=\sqrt[5]{4}-\sqrt[5]{4}=0,
e x-3=0. Portanto temos uma indeterminação do tipo 0/0.
Quando aparece \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} com f diferenciável em a, esse quociente tende a f'(a). Aqui temos exatamente essa forma com f(x)=\sqrt[5]{x^{2}-5} e a=3. Posso então calcular o limite encontrando f'(3). (Alternativamente poderia usar a regra de l’Hôpital; o raciocínio é equivalente.)

Passo 4

Calculo a derivada de
f(x)=\sqrt[5]{x^{2}-5}=(x^{2}-5)^{1/5}.
Uso a regra da cadeia: se f(x)=u(x)^{1/5} com u(x)=x^{2}-5, então
f'(x)=\frac{1}{5}u(x)^{-4/5}\cdot u'(x).
Aqui u'(x)=2x. Portanto
f'(x)=\frac{1}{5}(x^{2}-5)^{-4/5}\cdot 2x=\frac{2x}{5\,(x^{2}-5)^{4/5}}.

Passo 5

Agora avalio a derivada em x=3. Como 3^{2}-5=4, obtemos
f'(3)=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 4^{4/5}}=\frac{6}{5\cdot 4^{4/5}}.
Pela observação do Passo 3, o limite pedido é exatamente f'(3).

Resposta

\dfrac{6}{5\cdot 4^{4/5}}

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