Sejam g(t)=\cos (3 t) e h(t)=\cos (3 t+\theta), determine o valor de pico e x(t)= g(t)+h(t) quando:
\theta=\pi

Passo 1

O enunciado dá as funções g(t)=\cos(3t) e h(t)=\cos(3t+\theta) e pede:
  • calcular x(t)=g(t)+h(t) quando \theta=\pi;
  • determinar o valor de pico (ou amplitude máxima absoluta) de x(t) nesse caso.
Informações relevantes fornecidas:
  • g(t)=\cos(3t).
  • h(t)=\cos(3t+\theta) e foi dado \theta=\pi.

Passo 2

Primeiro, substituo \theta=\pi em h(t) e uso a identidade da soma para cosseno:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Aplicando com a=3t e b=\pi:
\cos(3t+\pi)=\cos(3t)\cos\pi-\sin(3t)\sin\pi.
Agora utilizo os valores conhecidos \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, ficando:
\cos(3t+\pi)=\cos(3t)\cdot(-1)-\sin(3t)\cdot 0 = -\cos(3t).
Logo:
h(t)= -\cos(3t).

Passo 3

Somando g(t) e h(t):
x(t)=g(t)+h(t)=\cos(3t)+(-\cos(3t))=0.
Isto significa que x(t) é a função identicamente zero para todo t.

Passo 4

Explico didaticamente: a soma de duas cossenos de mesma frequência e defasadas de \pi resulta em cancelamento completo — uma é a negativa da outra. Uma maneira geral de ver isso é usar a fórmula soma-para-produto:
\cos A+\cos B=2\cos\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
Se A=3t e B=3t+\pi, então
\frac{A-B}{2}=\frac{3t-(3t+\pi)}{2}=-\frac{\pi}{2},
e \cos\!\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)=0, o que também dá produto nulo e confirma x(t)=0.

Passo 5

Definição de “valor de pico” (amplitude máxima absoluta): é \max_{t}|x(t)|. Como x(t)=0 para todo t, segue que |x(t)|=0 para todo t, então o valor de pico é 0.

Resposta

x(t)=0 para todo t
Valor de pico: 0

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