Sejam
e
, determine o valor de pico e
quando:
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede que eu determine a soma e o valor de pico quando
. Informações fornecidas:
-
. -
. - Queremos
e o valor de pico quando .
Perguntas claras:
- Escrever
de forma simplificada (ideia: obter uma forma única de oscilação com amplitude e fase). - Determinar o valor máximo (pico) de
— isto é, a maior amplitude possível que atinge.
Passo 2
Idéia matemática que vou usar (explicação didática):
Existe uma identidade trigonométrica útil para somar duas cossenos com argumentos diferentes:
Existe uma identidade trigonométrica útil para somar duas cossenos com argumentos diferentes:
Essa identidade vem das fórmulas de soma e diferença de cosseno; ela transforma a soma em um produto que evidencia amplitude e fase. Vou aplicá-la com
e
. Explico cada parte:
-
é a média dos ângulos (muda a fase). -
é metade da diferença (aparece como fator multiplicador, afetando a amplitude quando for constante em ).
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
:
Simplificando os argumentos:
Como
é par,
. Logo
Isto já mostra que a soma é uma única cossenoide com amplitude
e fase
.
Passo 4
Agora substituo
. Calculo
:
Substituindo em
:
Para checar (intuitivamente): usando identidade trigonométrica alternativa,
. Então
. Reescrevendo
, que coincide com o resultado acima.
Passo 5
Determinar o valor de pico (valor máximo) de
:
- Em geral,
varia entre e . Assim, para , o máximo é quando a cossenoide vale . - Portanto o valor de pico (máximo) é
O valor mínimo (só para referência) seria
.
Se for útil saber quando ocorre o pico máximo: resolver
, ou seja
logo
Resposta
Valor de pico (máximo) de
: