Sejam g(t)=\cos (3 t) e h(t)=\cos (3 t+\theta), determine o valor de pico e x(t)= g(t)+h(t) quando:
\theta=\pi / 2

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede que eu determine a soma e o valor de pico quando \theta=\pi/2. Informações fornecidas:
  • g(t)=\cos(3t).
  • h(t)=\cos(3t+\theta).
  • Queremos x(t)=g(t)+h(t) e o valor de pico quando \theta=\pi/2.
Perguntas claras:
  • Escrever x(t)=\cos(3t)+\cos(3t+\pi/2) de forma simplificada (ideia: obter uma forma única de oscilação com amplitude e fase).
  • Determinar o valor máximo (pico) de x(t) — isto é, a maior amplitude possível que x(t) atinge.

Passo 2

Idéia matemática que vou usar (explicação didática):
Existe uma identidade trigonométrica útil para somar duas cossenos com argumentos diferentes:
\cos A + \cos B = 2\cos\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
Essa identidade vem das fórmulas de soma e diferença de cosseno; ela transforma a soma em um produto que evidencia amplitude e fase. Vou aplicá-la com A=3t e B=3t+\theta. Explico cada parte:
  • \dfrac{A+B}{2} é a média dos ângulos (muda a fase).
  • \dfrac{A-B}{2} é metade da diferença (aparece como fator multiplicador, afetando a amplitude quando for constante em t).

Passo 3

Aplicando a identidade com A=3t e B=3t+\theta:
x(t)=\cos(3t)+\cos(3t+\theta) =2\cos\!\bigg(\frac{3t+(3t+\theta)}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{3t-(3t+\theta)}{2}\bigg).
Simplificando os argumentos:
\frac{3t+(3t+\theta)}{2}=3t+\frac{\theta}{2},\qquad \frac{3t-(3t+\theta)}{2}=-\frac{\theta}{2}.
Como \cos é par, \cos\!\big(-\frac{\theta}{2}\big)=\cos\!\big(\frac{\theta}{2}\big). Logo
x(t)=2\cos\!\bigg(\frac{\theta}{2}\bigg)\cos\!\bigg(3t+\frac{\theta}{2}\bigg).
Isto já mostra que a soma é uma única cossenoide com amplitude 2\cos(\theta/2) e fase \theta/2.

Passo 4

Agora substituo \theta=\pi/2. Calculo \cos(\theta/2):
\theta/2=\frac{\pi}{4},\qquad \cos\!\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo em x(t):
x(t)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos\!\bigg(3t+\frac{\pi}{4}\bigg) =\sqrt{2}\,\cos\!\bigg(3t+\frac{\pi}{4}\bigg).
Para checar (intuitivamente): usando identidade trigonométrica alternativa, \cos(3t+\pi/2)=\cos(3t)\cos(\pi/2)-\sin(3t)\sin(\pi/2)=-\sin(3t). Então \cos(3t)+\cos(3t+\pi/2)=\cos(3t)-\sin(3t). Reescrevendo \cos(3t)-\sin(3t)=\sqrt{2}\cos\!\big(3t+\pi/4\big), que coincide com o resultado acima.

Passo 5

Determinar o valor de pico (valor máximo) de x(t):
  • Em geral, \cos varia entre -1 e 1. Assim, para x(t)=\sqrt{2}\cos\!\big(3t+\frac{\pi}{4}\big), o máximo é quando a cossenoide vale 1.
  • Portanto o valor de pico (máximo) é
\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}.
O valor mínimo (só para referência) seria -\sqrt{2}.
Se for útil saber quando ocorre o pico máximo: resolver \cos\!\big(3t+\frac{\pi}{4}\big)=1, ou seja
3t+\frac{\pi}{4}=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},
logo
t=\frac{2\pi k-\pi/4}{3}.

Resposta

x(t)=\sqrt{2}\cos\!\bigg(3t+\frac{\pi}{4}\bigg)
Valor de pico (máximo) de x(t): \sqrt{2}

Exercícios relacionados