Sejam g(x, y) e h(x, y) duas funções definidas e de classe C^{1} (i.e., derivadas parciais de primeira ordem cont inuas) num aberto U \subset \mathbb{R}^{2}. Mostre que se existe uma função f: U \rightarrow \mathbb{R} tal que
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=g(x, y) \\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=h(x, y) \end{array}\right.
então \frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial x} em U.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • São dadas duas funções g(x,y) e h(x,y) definidas em um aberto U\subset\mathbb{R}^2.
  • Sabe-se que g e h são de classe C^{1} em U (ou seja, têm derivadas parciais de primeira ordem que são contínuas).
  • Existe uma função f:U\to\mathbb{R} tal que, para todo (x,y)\in U,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g(x,y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=h(x,y).
O que o problema pede: mostrar que, em todo U,
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial h}{\partial x}(x,y).

Passo 2

Vamos organizar as consequências imediatas das hipóteses (sem provar ainda a igualdade). Primeiro, clarificar o que significam algumas notações e classes:
  • A notação \frac{\partial f}{\partial x} ou f_x significa a derivada parcial de f em relação a x, com y fixo. Analogamente f_y é a derivada parcial em relação a y.
  • Dizer que g e h são de classe C^{1} em U significa que as quatro derivadas parciais g_x,g_y,h_x,h_y existem e são contínuas em U.
  • Como g=f_x e h=f_y (pela hipótese de existência de f), as derivadas g_y e h_x são exatamente as derivadas mistas de f:
g_y=(f_x)_y=f_{xy}, \qquad h_x=(f_y)_x=f_{yx}.
  • Portanto, pelas hipóteses, os segundos derivados mistos f_{xy} e f_{yx} existem e são contínuos em U. Em outras palavras, f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas: f é C^{2} em U.
O objetivo agora se traduz em mostrar que, para todo (x,y)\in U,
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y).

Passo 3

Vou usar um argumento clássico baseado no Teorema do Valor Médio (TVM) para funções de uma variável aplicado a funções obtidas “fixando” uma variável. A ideia é construir o quociente de diferença iterada e mostrar que, quando os incrementos tendem a zero, esse quociente tende ao mesmo valor quer se calcule primeiro a variação em x e depois em y, quer se calcule na ordem inversa — e esse valor é precisamente o valor de uma das derivadas mistas, que pela continuidade coincide com a outra.
Seja (x,y)\in U. Como U é aberto, existe um retângulo centrado em (x,y) contido em U. Tome incrementos h e k suficientemente pequenos de modo que todos os pontos abaixo pertençam a U.
Defina o quociente
Q(h,k)=\frac{f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+f(x,y)}{hk}.
O plano é mostrar que, quando (h,k)\to(0,0), Q(h,k) tende simultaneamente a f_{xy}(x,y) e a f_{yx}(x,y). Daí as duas mistas coincidem.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Médio em t (variando x):
  • Para cada t considere \varphi(t)=f(t,y+k)-f(t,y). Esta \varphi é diferenciável em t porque f_x existe e é contínua; sua derivada é
\varphi'(t)=f_x(t,y+k)-f_x(t,y).
  • Pelo TVM, existe \xi entre x e x+h tal que
\varphi(x+h)-\varphi(x)=h\,\varphi'(\xi).
Reescrevendo isso e dividindo por hk obtém-se
Q(h,k)=\frac{\varphi(x+h)-\varphi(x)}{hk}=\frac{\varphi'(\xi)}{k}=\frac{f_x(\xi,y+k)-f_x(\xi,y)}{k}.

Passo 5

Agora aplique o TVM em relação a y à função y\mapsto f_x(\xi,y):
  • Como g=f_x é C^{1}, a derivada (f_x)_y=f_{xy} existe e é contínua. Pelo TVM, existe \eta entre y e y+k tal que
\frac{f_x(\xi,y+k)-f_x(\xi,y)}{k}=f_{xy}(\xi,\eta).
  • Assim, a expressão anterior dá
Q(h,k)=f_{xy}(\xi,\eta).

Passo 6

Agora faça h\to 0 e k\to 0. Como \xi está entre x e x+h e \eta entre y e y+k, temos (\xi,\eta)\to(x,y). Como f_{xy} é contínua em U (já notado no Passo 2), segue que
\lim_{(h,k)\to(0,0)} Q(h,k)=f_{xy}(x,y).

Passo 7

Repetindo o raciocínio trocando a ordem das variáveis (primeiro aplicando TVM em y e depois em x) obtemos, de maneira análoga,
\lim_{(h,k)\to(0,0)} Q(h,k)=f_{yx}(x,y).
Como o limite de Q(h,k) existe e é único, concluímos que
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y).

Passo 8

Recordando a relação entre g,h e as derivadas de f (do Passo 2), temos
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=g_y(x,y)=f_{xy}(x,y), \qquad \frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=h_x(x,y)=f_{yx}(x,y).
Portanto, a igualdade de f_{xy} e f_{yx} implica
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)
para todo (x,y)\in U.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial x} em U.

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