Sejam
e
duas funções definidas e de classe
(i.e., derivadas parciais de primeira ordem cont inuas) num aberto
. Mostre que se existe uma função
tal que
então
em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- São dadas duas funções
e definidas em um aberto . - Sabe-se que
e são de classe em (ou seja, têm derivadas parciais de primeira ordem que são contínuas). - Existe uma função
tal que, para todo ,
O que o problema pede: mostrar que, em todo
,
Passo 2
Vamos organizar as consequências imediatas das hipóteses (sem provar ainda a igualdade). Primeiro, clarificar o que significam algumas notações e classes:
- A notação
ou significa a derivada parcial de em relação a , com fixo. Analogamente é a derivada parcial em relação a . - Dizer que
e são de classe em significa que as quatro derivadas parciais existem e são contínuas em . - Como
e (pela hipótese de existência de ), as derivadas e são exatamente as derivadas mistas de :
- Portanto, pelas hipóteses, os segundos derivados mistos
e existem e são contínuos em . Em outras palavras, tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas: é em .
O objetivo agora se traduz em mostrar que, para todo
,
Passo 3
Vou usar um argumento clássico baseado no Teorema do Valor Médio (TVM) para funções de uma variável aplicado a funções obtidas “fixando” uma variável. A ideia é construir o quociente de diferença iterada e mostrar que, quando os incrementos tendem a zero, esse quociente tende ao mesmo valor quer se calcule primeiro a variação em
e depois em
, quer se calcule na ordem inversa — e esse valor é precisamente o valor de uma das derivadas mistas, que pela continuidade coincide com a outra.
Seja
. Como
é aberto, existe um retângulo centrado em
contido em
. Tome incrementos
e
suficientemente pequenos de modo que todos os pontos abaixo pertençam a
.
Defina o quociente
O plano é mostrar que, quando
,
tende simultaneamente a
e a
. Daí as duas mistas coincidem.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Valor Médio em
(variando
):
- Para cada
considere . Esta é diferenciável em porque existe e é contínua; sua derivada é
- Pelo TVM, existe
entre e tal que
Reescrevendo isso e dividindo por
obtém-se
Passo 5
Agora aplique o TVM em relação a
à função
:
- Como
é , a derivada existe e é contínua. Pelo TVM, existe entre e tal que
- Assim, a expressão anterior dá
Passo 6
Agora faça
e
. Como
está entre
e
e
entre
e
, temos
. Como
é contínua em
(já notado no Passo 2), segue que
Passo 7
Repetindo o raciocínio trocando a ordem das variáveis (primeiro aplicando TVM em
e depois em
) obtemos, de maneira análoga,
Como o limite de
existe e é único, concluímos que
Passo 8
Recordando a relação entre
e as derivadas de
(do Passo 2), temos
Portanto, a igualdade de
e
implica
para todo
.