Verifique se a função
é solução da equação de condução do calor
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Está dada a função
. - A equação a verificar é
. - Os símbolos
e são constantes; e são as variáveis independentes. - O pedido é: verificar se, ao calcular as derivadas parciais, a igualdade da equação é satisfeita.
Passo 2
Relembrando regras de diferenciação que vamos usar (bem devagar):
- Derivada de uma exponencial composta: se
então (regra da cadeia). - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : . - Para derivadas parciais, tratamos
como constante quando derivamos em e vice‑versa.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- Escreve-se
. Aqui não depende de , é constante em relação a . - A parte que depende de
é com . Então . - Aplicando a regra da cadeia,
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Agora
é constante em relação a . - Derivando
em relação a dá . - Assim
Passo 5
Calcular
passo a passo:
- Diferencia-se
em relação a . - A constante em
é . A derivada de é . - Logo
Passo 6
Comparar as duas expressões e concluir:
- Multiplicando
por obtém‑se
- Observa‑se que esse resultado é exatamente igual a
(ver Passo 3). - Portanto a igualdade
é verdadeira para todos (onde a função está definida), o que significa que é solução da equação do calor.
Resposta
Sim.