Verifique se a função v=e^{-a^{2} k^{2} t} \sin (k x) é solução da equação de condução do calor \frac{\partial v}{\partial t}=a^{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Está dada a função \displaystyle v(x,t)=e^{-a^{2}k^{2}t}\sin(kx).
  • A equação a verificar é \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}=a^{2}\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}.
  • Os símbolos a e k são constantes; x e t são as variáveis independentes.
  • O pedido é: verificar se, ao calcular as derivadas parciais, a igualdade da equação é satisfeita.

Passo 2

Relembrando regras de diferenciação que vamos usar (bem devagar):
  • Derivada de uma exponencial composta: se \displaystyle w(t)=e^{u(t)} então \displaystyle w'(t)=u'(t)e^{u(t)} (regra da cadeia).
  • Derivada de \sin(kx) em relação a x: \displaystyle \frac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx).
  • Derivada de \cos(kx) em relação a x: \displaystyle \frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx).
  • Para derivadas parciais, tratamos t como constante quando derivamos em x e vice‑versa.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} passo a passo:
  • Escreve-se \displaystyle v(x,t)=\bigl(e^{-a^{2}k^{2}t}\bigr)\sin(kx). Aqui \sin(kx) não depende de t, é constante em relação a t.
  • A parte que depende de t é e^{u(t)} com u(t)=-a^{2}k^{2}t. Então u'(t)=-a^{2}k^{2}.
  • Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial v}{\partial t}=u'(t)\,e^{u(t)}\sin(kx)=-a^{2}k^{2}\,e^{-a^{2}k^{2}t}\sin(kx).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} passo a passo:
  • Agora e^{-a^{2}k^{2}t} é constante em relação a x.
  • Derivando \sin(kx) em relação a x k\cos(kx).
  • Assim
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{-a^{2}k^{2}t}\cdot k\cos(kx)=k\,e^{-a^{2}k^{2}t}\cos(kx).

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} passo a passo:
  • Diferencia-se \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=k\,e^{-a^{2}k^{2}t}\cos(kx) em relação a x.
  • A constante em x é k\,e^{-a^{2}k^{2}t}. A derivada de \cos(kx) é -k\sin(kx).
  • Logo
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}=k\,e^{-a^{2}k^{2}t}\cdot(-k\sin(kx))=-k^{2}e^{-a^{2}k^{2}t}\sin(kx).

Passo 6

Comparar as duas expressões e concluir:
  • Multiplicando \displaystyle \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} por a^{2} obtém‑se
a^{2}\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}=a^{2}\bigl(-k^{2}e^{-a^{2}k^{2}t}\sin(kx)\bigr)=-a^{2}k^{2}e^{-a^{2}k^{2}t}\sin(kx).
  • Observa‑se que esse resultado é exatamente igual a \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} (ver Passo 3).
  • Portanto a igualdade \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}=a^{2}\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}} é verdadeira para todos x,t (onde a função está definida), o que significa que v(x,t) é solução da equação do calor.

Resposta

Sim. \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}=a^{2}\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}=-a^{2}k^{2}e^{-a^{2}k^{2}t}\sin(kx)

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