Sejam 
 , e considere a matriz 
  tal que 
 , para todo 
 .
(b) Se os vetores 
  em questão forem ortonormais, o que podemos concluir sobre a matriz 
  ? Justifique sua resposta.
(b) Se os vetores
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lista de vetores 
  no espaço 
  e uma matriz 
  onde cada entrada 
  é o produto interno entre os vetores 
  e 
 . O assunto aqui é álgebra linear, especificamente sobre produtos internos e matrizes formadas por eles. Precisamos descobrir qual a característica especial da matriz 
  quando os vetores 
  são ortonormais.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que significa que os vetores são ortonormais. Um conjunto de vetores é ortonormal se cada vetor tem norma 1 (ou seja, é um vetor unitário) e é ortogonal aos outros, o que significa que o produto interno entre qualquer par de vetores diferentes é zero. Matematicamente, isso se expressa como:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz 
 . Cada elemento 
  dessa matriz é dado pelo produto interno 
 . Se os vetores são ortonormais, substituímos na fórmula:
Isso significa que todos os elementos da diagonal principal de 
  são 1, e todos os outros elementos são 0.
Passo 4
Uma matriz que tem 1’s na diagonal principal e 0’s em todas as outras posições é chamada de matriz identidade, denotada por 
 , onde 
  é a dimensão da matriz. A matriz identidade é especial porque, quando multiplicada por qualquer vetor, ele permanece inalterado.
Resposta
Quando os vetores 
  são ortonormais, a matriz 
  é a matriz identidade 
 .