Sejam a \in \mathbb{R} e f(x)=\frac{1}{x^{2}+3}, calcule:
\sqrt{f(a)}

Passo 1

O enunciado dá:
  • a\in\mathbb{R}.
  • A função f é definida por f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+3}.
O que pede:
  • Calcular \sqrt{f(a)}, ou seja, a raiz quadrada (principal) do valor de f em x=a.

Passo 2

Primeiro substituímos x=a em f(x) para obter o valor num ponto:
f(a)=\frac{1}{a^{2}+3}.
Isto é só aplicar a definição da função trocando x por a.

Passo 3

Antes de tirar a raiz, precisamos verificar se f(a) é não negativa (para que a raiz real exista). Observações:
  • Para todo a\in\mathbb{R} vale a^{2}\ge 0.
  • Logo a^{2}+3\ge 3>0.
  • Portanto o denominador a^{2}+3 é estritamente positivo e assim
f(a)=\frac{1}{a^{2}+3}>0.
Como f(a)>0, a raiz quadrada principal \sqrt{f(a)} está bem definida e é um número real positivo.

Passo 4

Usamos a propriedade da raiz quadrada para números positivos: se u>0 e v>0 então
\sqrt{\frac{u}{v}}=\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}}.
Aplicando com u=1 e v=a^{2}+3 obtemos
\sqrt{f(a)}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}+3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{a^{2}+3}}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+3}}.
Outra forma equivalente, útil em provas, é escrever
\sqrt{f(a)}=(a^{2}+3)^{-1/2}.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+3}}

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