A função abaixo que é ímpar é:
(a) f(x)=3 x^{6}.
(b) f(x)=x^{4}+x^{2}-3.
(c) f(x)=125.
(d) f(x)=5 x-8.
(e) f(x)=x^{3}-2 x.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das funções abaixo é ímpar. As opções dadas são:
(a) f(x)=3x^{6}.
(b) f(x)=x^{4}+x^{2}-3.
(c) f(x)=125.
(d) f(x)=5x-8.
(e) f(x)=x^{3}-2x.
O que é pedido: identificar qual (uma única) dessas funções é ímpar.

Passo 2

Definição e método de teste (rápido e prático). Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio, valer
f(-x) = -f(x).
Isto significa que ao trocar x por -x a função deve mudar de sinal. Em polinômios isso costuma ser fácil de verificar porque monômios x^n têm comportamento simples:
  • se n é par, (-x)^n = x^n (não muda de sinal);
  • se n é ímpar, (-x)^n = -x^n (muda de sinal).
    Também atenção: uma função constante diferente de zero (por exemplo 125) satisfaz f(-x)=f(x), logo é par, não ímpar. A constante zero é simultaneamente par e ímpar, mas aqui não temos essa constante.
O teste prático: calcular f(-x) e comparar com -f(x). Se igual para todo x, a função é ímpar.

Passo 3

Teste da opção (a). f(x)=3x^{6}.
Calcular f(-x):
f(-x)=3(-x)^{6}=3x^{6}.
Calcular -f(x):
-f(x) = -\bigl(3x^{6}\bigr) = -3x^{6}.
Comparando, f(-x)=3x^{6} e -f(x)=-3x^{6}. Como 3x^{6}\neq -3x^{6} (exceto em x=0), a igualdade f(-x)=-f(x) não vale para todo x. Conclusão: (a) não é ímpar.

Passo 4

Teste da opção (b). f(x)=x^{4}+x^{2}-3.
Calcular f(-x):
f(-x)=(-x)^{4}+(-x)^{2}-3 = x^{4}+x^{2}-3.
Observe que f(-x)=f(x). Isso é a definição de função par, não ímpar. Portanto (b) não é ímpar.

Passo 5

Teste da opção (c). f(x)=125 (constante).
Calcular f(-x):
f(-x)=125.
Calcular -f(x):
-f(x)=-125.
Como 125\neq -125, a igualdade f(-x)=-f(x) não se verifica (exceto, novamente, em caso hipotético de 125=0, o que não acontece). Então (c) não é ímpar. Observação didática: a única constante que é ímpar é 0.

Passo 6

Teste da opção (d). f(x)=5x-8.
Calcular f(-x):
f(-x)=5(-x)-8 = -5x-8.
Calcular -f(x):
-f(x)=-(5x-8) = -5x+8.
Comparando, f(-x)=-5x-8 e -f(x)=-5x+8. Como os termos constantes são diferentes ( -8 versus +8), não há igualdade para todo x. Logo (d) não é ímpar.

Passo 7

Teste da opção (e). f(x)=x^{3}-2x.
Calcular f(-x):
f(-x)=(-x)^{3}-2(-x) = -x^{3}+2x.
Calcular -f(x):
-f(x)=-(x^{3}-2x) = -x^{3}+2x.
Aqui f(-x)=-x^{3}+2x coincide exatamente com -f(x)=-x^{3}+2x para todo x. Portanto a igualdade f(-x)=-f(x) vale para todo x, o que significa que a função é ímpar.

Resposta

(e) f(x)=x^{3}-2x

Exercícios relacionados