A função abaixo que é ímpar é:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pergunta qual das funções abaixo é ímpar. As opções dadas são:
(a) .
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
O que é pedido: identificar qual (uma única) dessas funções é ímpar.
Passo 2
Definição e método de teste (rápido e prático). Uma função
é ímpar se, para todo
no domínio, valer
Isto significa que ao trocar
por
a função deve mudar de sinal. Em polinômios isso costuma ser fácil de verificar porque monômios
têm comportamento simples:
- se
é par, (não muda de sinal); - se
é ímpar, (muda de sinal).
Também atenção: uma função constante diferente de zero (por exemplo) satisfaz , logo é par, não ímpar. A constante zero é simultaneamente par e ímpar, mas aqui não temos essa constante.
O teste prático: calcular
e comparar com
. Se igual para todo
, a função é ímpar.
Passo 3
Teste da opção (a).
.
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Comparando,
e
. Como
(exceto em
), a igualdade
não vale para todo
. Conclusão: (a) não é ímpar.
Passo 4
Teste da opção (b).
.
Calcular :
Calcular
Observe que
. Isso é a definição de função par, não ímpar. Portanto (b) não é ímpar.
Passo 5
Teste da opção (c).
(constante).
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Como
, a igualdade
não se verifica (exceto, novamente, em caso hipotético de
, o que não acontece). Então (c) não é ímpar. Observação didática: a única constante que é ímpar é
.
Passo 6
Teste da opção (d).
.
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Comparando,
e
. Como os termos constantes são diferentes (
versus
), não há igualdade para todo
. Logo (d) não é ímpar.
Passo 7
Teste da opção (e).
.
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Aqui
coincide exatamente com
para todo
. Portanto a igualdade
vale para todo
, o que significa que a função é ímpar.
Resposta
(e)