Sejam
A=\left(\begin{array}{ll} 5 & 3 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 6 & 2 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{rr} 4 & -2 \\\\ -6 & 3 \end{array}\right)
Resolva cada uma das seguintes equações matriciais:
(a) A X+B=C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}5 & 3 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}6 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] -6 & 3\end{pmatrix}
e pede para resolver a equação matricial (a)
A X + B = C
ou seja, encontrar a matriz X que satisfaz essa igualdade.]

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar X. Podemos subtrair B de ambos os lados (subtração de matrizes é feita elemento a elemento), obtendo
A X = C - B.
Isto é análogo a resolver ax+b=c em escala escalar: tiramos o b para o outro lado.

Passo 3

Calcular C-B elemento a elemento (aqui peguei os números das matrizes C e B fornecidas):
C-B= \begin{pmatrix} 4-6 & -2-2 \\[4pt] -6-2 & 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\[4pt] -8 & -1 \end{pmatrix}.
Chamemos essa matriz de D:
D := C-B = \begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] -8 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para isolar X na igualdade A X = D precisamos “dividir à esquerda” por A. Em álgebra matricial isso significa multiplicar à esquerda por A^{-1}, a inversa de A, desde que A seja invertível. Uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
é invertível se o seu determinante \det = ad-bc for diferente de zero; a inversa é então
\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Vamos aplicar isso a A. Tomando a=5, b=3, c=3, d=2, o determinante é
\det(A)=5\cdot2-3\cdot3=10-9=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível.]

Passo 5

Calcular A^{-1} usando a fórmula para 2\times2. Como \det(A)=1,
A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt] -3 & 5\end{pmatrix}.
(Isto vem de trocar a por d, d por a e trocar o sinal de b e c, tudo dividido por \det(A)=1.)]

Passo 6

Multiplicar A^{-1} por D para obter X:
X = A^{-1}D = \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt] -3 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 & -4\\[4pt] -8 & -1\end{pmatrix}.
Lembrete rápido de multiplicação de matrizes 2\times2: o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira pela coluna j da segunda.
Calculemos entrada a entrada:
  • Entrada (1,1):
2\cdot(-2) + (-3)\cdot(-8) = -4 + 24 = 20.
  • Entrada (1,2):
2\cdot(-4) + (-3)\cdot(-1) = -8 + 3 = -5.
  • Entrada (2,1):
(-3)\cdot(-2) + 5\cdot(-8) = 6 - 40 = -34.
  • Entrada (2,2):
(-3)\cdot(-4) + 5\cdot(-1) = 12 - 5 = 7.
Portanto
X=\begin{pmatrix}20 & -5\\[4pt] -34 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom hábito): calcule A X + B e confira que dá C. Primeiro
A X = \begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}20 & -5\\[4pt] -34 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -4\\[4pt] -8 & -1\end{pmatrix},
e então
A X + B = \begin{pmatrix}-2 & -4\\[4pt] -8 & -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] -6 & 3\end{pmatrix}=C,
confirmando que a solução está correta. Vai dar certo na prova — respira, você já acertou a técnica!]

Resposta

X=\begin{pmatrix}20 & -5\\[4pt] -34 & 7\end{pmatrix}]

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