(b) Use A^{-1} para resolver A \mathbf{x}=\mathbf{b} para as seguintes escolhas de b.
(i) \mathbf{b}=(1,1,1)^{T}
(ii) \mathbf{b}=(1,2,3)^{T}
(iii) \mathbf{b}=(-2,1,0)^{T}
(b) Usar A^{-1} para resolver a equação linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} para cada um dos vetores \mathbf{b}:
(i) \mathbf{b}=(1,1,1)^{T},
(ii) \mathbf{b}=(1,2,3)^{T},
(iii) \mathbf{b}=(-2,1,0)^{T}.
Nada mais será assumido; a verificação do item (a) e a solução do item (b) devem ser feitas de forma explícita.]
Passo 2
Conceito e método de verificação (mini-aula rápida e prática).
Uma matriz B é inversa de A quando vale A B = I e também B A = I, onde I é a matriz identidade 3\times3.
Para verificar o item (a) basta calcular o produto A\cdot A^{-1} (usando a matriz proposta) e mostrar que o resultado é a identidade.
Para multiplicar A por uma coluna da matriz proposta usamos o produto interno entre cada linha de A e essa coluna: se a coluna for \mathbf{c}, então a primeira entrada do produto é a soma linha1·\mathbf{c}, a segunda é linha2·\mathbf{c}, etc.
Vou seguir essa verificação coluna a coluna: multiplicar A por cada coluna da matriz proposta para ver se obtemos os vetores coluna da identidade \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3.
Passo 3
Verificação da primeira coluna.
A primeira coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}. Calcular A vezes essa coluna:
Conclusão da verificação.
Como A multiplicada por cada coluna proposta de A^{-1} dá os vetores coluna da identidade, obtemos
A\cdot A^{-1}=I_{3}.
Logo a matriz dada é realmente a inversa de A. (Observação: alternativa seria calcular \det(A) e montar a inversa, mas a verificação por produto é direta e suficiente.)
Passo 7
Mini-aula: usar a inversa para resolver A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Se A é invertível então a solução única é \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Para calcular A^{-1}\mathbf{b} fazemos, novamente, produto de matriz por vetor: cada componente de \mathbf{x} é o produto interno entre a linha correspondente de A^{-1} e o vetor \mathbf{b}.
As linhas de A^{-1} são: linha 1: \begin{pmatrix}1 & 2 & -3\end{pmatrix},
linha 2: \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\end{pmatrix},
linha 3: \begin{pmatrix}0 & -2 & 3\end{pmatrix}.
Agora aplico isso a cada caso pedido.
Passo 8
Caso (i): \mathbf{b}=(1,1,1)^{T}.
Calcular \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} componente a componente: