Seja
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right)
(a) Verifique que
A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -3 \\\\ -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 \end{array}\right)
(b) Use A^{-1} para resolver A \mathbf{x}=\mathbf{b} para as seguintes escolhas de b.
(i) \mathbf{b}=(1,1,1)^{T}
(ii) \mathbf{b}=(1,2,3)^{T}
(iii) \mathbf{b}=(-2,1,0)^{T}

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 3 & 4 \\[4pt] 2 & 2 & 3\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
(a) Verificar que
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 \\[4pt] -1 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & -2 & 3\end{pmatrix}.
(b) Usar A^{-1} para resolver a equação linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} para cada um dos vetores \mathbf{b}:
(i) \mathbf{b}=(1,1,1)^{T},
(ii) \mathbf{b}=(1,2,3)^{T},
(iii) \mathbf{b}=(-2,1,0)^{T}.
Nada mais será assumido; a verificação do item (a) e a solução do item (b) devem ser feitas de forma explícita.]

Passo 2

Conceito e método de verificação (mini-aula rápida e prática).
  • Uma matriz B é inversa de A quando vale A B = I e também B A = I, onde I é a matriz identidade 3\times3.
  • Para verificar o item (a) basta calcular o produto A\cdot A^{-1} (usando a matriz proposta) e mostrar que o resultado é a identidade.
  • Para multiplicar A por uma coluna da matriz proposta usamos o produto interno entre cada linha de A e essa coluna: se a coluna for \mathbf{c}, então a primeira entrada do produto é a soma linha1· \mathbf{c}, a segunda é linha2· \mathbf{c}, etc.
Vou seguir essa verificação coluna a coluna: multiplicar A por cada coluna da matriz proposta para ver se obtemos os vetores coluna da identidade \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3.

Passo 3

Verificação da primeira coluna.
A primeira coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}. Calcular A vezes essa coluna:
A\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 0\\[4pt] 3\cdot 1 + 3\cdot(-1) + 4\cdot 0\\[4pt] 2\cdot 1 + 2\cdot(-1) + 3\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[4pt] 0\\[4pt] 0 \end{pmatrix} =\mathbf{e}_1.]

Passo 4

Verificação da segunda coluna.
A segunda coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}. Calcular A vezes essa coluna:
A\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + 0\cdot 1 + 1\cdot(-2)\\[4pt] 3\cdot 2 + 3\cdot 1 + 4\cdot(-2)\\[4pt] 2\cdot 2 + 2\cdot 1 + 3\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[4pt] 1\\[4pt] 0 \end{pmatrix} =\mathbf{e}_2.]

Passo 5

Verificação da terceira coluna.
A terceira coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}. Calcular A vezes essa coluna:
A\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-3) + 0\cdot(-1) + 1\cdot 3\\[4pt] 3\cdot(-3) + 3\cdot(-1) + 4\cdot 3\\[4pt] 2\cdot(-3) + 2\cdot(-1) + 3\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[4pt] 0\\[4pt] 1 \end{pmatrix} =\mathbf{e}_3.]

Passo 6

Conclusão da verificação.
Como A multiplicada por cada coluna proposta de A^{-1} dá os vetores coluna da identidade, obtemos
A\cdot A^{-1}=I_{3}.
Logo a matriz dada é realmente a inversa de A. (Observação: alternativa seria calcular \det(A) e montar a inversa, mas a verificação por produto é direta e suficiente.)

Passo 7

Mini-aula: usar a inversa para resolver A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
  • Se A é invertível então a solução única é \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
  • Para calcular A^{-1}\mathbf{b} fazemos, novamente, produto de matriz por vetor: cada componente de \mathbf{x} é o produto interno entre a linha correspondente de A^{-1} e o vetor \mathbf{b}.
  • As linhas de A^{-1} são:
    linha 1: \begin{pmatrix}1 & 2 & -3\end{pmatrix},
    linha 2: \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\end{pmatrix},
    linha 3: \begin{pmatrix}0 & -2 & 3\end{pmatrix}.
    Agora aplico isso a cada caso pedido.

Passo 8

Caso (i): \mathbf{b}=(1,1,1)^{T}.
Calcular \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} componente a componente:
x_1=1\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-3)\cdot 1 = 1+2-3 = 0,
x_2=(-1)\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = -1+1-1 = -1,
x_3=0\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + 3\cdot 1 = -2+3 = 1.
Portanto a solução para (i) é \mathbf{x}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 9

Caso (ii): \mathbf{b}=(1,2,3)^{T}.
Calcular \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}:
x_1=1\cdot 1 + 2\cdot 2 + (-3)\cdot 3 = 1+4-9 = -4,
x_2=(-1)\cdot 1 + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 3 = -1+2-3 = -2,
x_3=0\cdot 1 + (-2)\cdot 2 + 3\cdot 3 = -4+9 = 5.
Logo a solução para (ii) é \mathbf{x}=\begin{pmatrix}-4\\\ -2\\\ 5\end{pmatrix}.

Passo 10

Caso (iii): \mathbf{b}=(-2,1,0)^{T}.
Calcular \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}:
x_1=1\cdot(-2) + 2\cdot 1 + (-3)\cdot 0 = -2+2+0 = 0,
x_2=(-1)\cdot(-2) + 1\cdot 1 + (-1)\cdot 0 = 2+1+0 = 3,
x_3=0\cdot(-2) + (-2)\cdot 1 + 3\cdot 0 = -2+0 = -2.
Portanto a solução para (iii) é \mathbf{x}=\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-4\\\ -2\\\ 5\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix}

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