Sejam A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 7 \\\\ 6 & 5 & 4 \\\\ 0 & 4 & 9\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}6 & -2 & 4 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 7 & 7 & 5\end{array}\right). Encontre:
a) (A B)^{(2)} ; \quad

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}3 & -2 & 7 \\[4pt] 6 & 5 & 4 \\[4pt] 0 & 4 & 9\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}6 & -2 & 4 \\[4pt] 0 & 1 & 3 \\[4pt] 7 & 7 & 5\end{pmatrix}
e pede a segunda coluna de AB, ou seja (AB)^{(2)}. Sabemos que a segunda coluna de AB é
(AB)^{(2)} \;=\; A\,B^{(2)},
onde B^{(2)} é a segunda coluna de B.]

Passo 2

Extraímos a segunda coluna de B:
B^{(2)} = \begin{pmatrix}-2 \\[4pt] 1 \\[4pt] 7\end{pmatrix}.]

Passo 3

Multiplicamos A por esse vetor coluna:
A\,B^{(2)} = \begin{pmatrix}3 & -2 & 7 \\[4pt] 6 & 5 & 4 \\[4pt] 0 & 4 & 9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\[4pt] 1 \\[4pt] 7\end{pmatrix}.
Cada entrada é o produto escalar da linha de A com B^{(2)}:
\begin{aligned} \text{1ª linha: } & 3\cdot(-2) + (-2)\cdot1 + 7\cdot7 = -6 -2 +49 = 41,\\\ \text{2ª linha: } & 6\cdot(-2) + 5\cdot1 + 4\cdot7 = -12 +5 +28 = 21,\\\ \text{3ª linha: } & 0\cdot(-2) + 4\cdot1 + 9\cdot7 = 0 +4 +63 = 67. \end{aligned}ªªª]

Passo 4

Concluímos que
(AB)^{(2)} = A\,B^{(2)} = \begin{pmatrix}41 \\[4pt] 21 \\[4pt] 67\end{pmatrix}.]

Resposta

(AB)^{(2)} = \begin{pmatrix}41 \\[4pt] 21 \\[4pt] 67\end{pmatrix}.]

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